10.6 Fractales sym´ etriques
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Il reste alors `
a utiliser les relations de commutation pour v´ erifier que l’on a
C = S A1 (C) ∪ [S A2 r 3π
2
](S) ∪ [S A3 r π ](C) ∪ [S A4 r π
2
](C)
= S A1 (C) ∪ [r π
2
S A1 ](S) ∪ [r π S A1 ](C) ∪ [r 3π
2
S A1 ](C)
Autrement dit, l’ensemble C est aussi un point fixe de l’op´ erateur ensembliste
T = S A1 ∪ r π
2
S A1 ∪ r π S A1 ∪ r 3π
2
S A1
On peut donc g´ en´ erer al´ eatoirement ce fractal ´ el´ ementaire `
a l’aide d’un marcheur virtuel ´ evoluant selon l’´ equation r´ ecursive suivante :
X n = r (nπ)/2 S A1 (X n−1 )
o` u n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, et de mˆ eme loi
P( n = 0) = P( n = 1) = P( n = 1) = P( n = 1) =
1
4
Le carr´ e de Sierpinski C ∞ ⊂ [−1, 1]
2 que nous avons ´ etudi´ e dans la section 10.5 est construit `
a l’aide des transformations S Ai , associant ` a un point,
le point aux deux tiers de sa distance au sommet A i :
S Ai =
1
3
Id +
2
3
A i
Plus pr´ ecis´ ement, nous avons montr´ e que C ∞ ´ etait l’unique point fixe de la
transformation d’ensembles
S = S A1 ∪ S A2 ∪ S A3 ∪ A A4
Par des raisonnements analogues aux pr´ ec´ edents, il est ais´ e de v´ erifier que le
carr´ e de Sierpinski est aussi un point fixe de l’op´ erateur ensembliste
T = S A1 ∪ r π
2
S A1 ∪ r π S A1 ∪ r 3π
2
S A1
On peut ainsi g´ en´ erer al´ eatoirement ce fractal en utilisant le marcheur virtuel
d´ efini par les ´ equations
X n = r (nπ)/2 S A1 (X n−1 )
o` u n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, et uniformes
sur l’ensemble des indices de rotation {0, 1, 2, 3}.
10.6.3 V´ eg´ etations fractales
Nous conclurons cette partie en pr´ esentant quelques constructions d’images
issues en partie du livre de M. Field, M. Golubitsky [60]. Ces formes fractales
sont associ´ ees ` a des transformations ensemblistes de la forme