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10 Mod` eles de fractal dans la nature
R = S(R) ∪ r π
2
S(R) ∪ r π S(R) ∪ r 3π
2
S(R)
Pour v´ erifier que ce fractal est bien Z 4 -sym´ etrique, il suffit de noter que
l’op´ erateur ensembliste
T = S ∪ r π
2
S ∪ r π S ∪ r 3π
2
S
est invariant ` a droite par l’action du groupe Z 4 . On a par exemple
r π
2
T = r π
2
S ∪ r π
2
S ∪ r π S ∪ r 3π
2
S
= r π
2
S ∪ r π S ∪ r 3π
2
S ∪ S = T
On v´ erifie de mˆ eme les propri´ et´ es suivantes :
r π T = r 3π
2
T = T
Reprenons l’exemple du carr´ e
C = [−1, 1]
2
avec les quatre transformations S Ai , i = 1, 2, 3, 4, qui associent ` a un quelconque point du plan le point `
a mi-distance des sommets respectifs
A 1 = (1, 1) , A 2 = (1, −1) , A 3 = (−1, −1) , A 4 = (−1, 1)
Dans la section 10.5.1, nous avons montr´ e que C ´ etait l’unique point fixe de
l’op´ erateur ensembliste
S = S A1 ∪ S A2 ∪ S A3 ∪ A A4
Par d´ efinition des applications S Ai , nous avons
S Ai =
1
2
1 0
0 1
+
1
2
x Ai
y Ai
=
1
2
(Id + A i )
Il est alors ais´ e de v´ erifier que l’on a
r π
2
(A 1 ) = A 4 , r π (A 1 ) = A 3 , et r 3π
2
(A 1 ) = A 2
On obtient ainsi les relations de commutation suivantes :
r π
2
S A1 = S A4 r π
2
, r π S A1 = S A3 r π , et r 3π
2
S A1 = S A2 r 3π
2
En utilisant les propri´ et´ es de sym´ etrie de C par rapport au groupe Z 4 , on
obtient
C = S A1 (C) ∪ S A2 (S) ∪ S A3 (C) ∪ S A4 (C)
= S A1 (C) ∪ S A2 [r 3π
2
(S)] ∪ S A3 [r π (C)] ∪ S A4 [r π
2
(C)]