10.6 Fractales sym´ etriques
315
Fig. 10.7. Sym´ etries du carr´ e
avec le groupe cyclique d’ordre m donn´ e par l’ensemble
Z m =
r
0
2π
m
, r
1
2π
m
, r
2
2π
m
, . . . , r
m−1
2π
m
=
r k
2π
m
: k ∈ {0, 1, . . . , (m − 1)}
avec la convention r 0 = Id, lorsque k = 0. Dans cette situation, on a encore
la propri´ et´ e d’invariance
S(C m ) = C m
pour toute transformation S ∈ D m . Pour conclure, on notera que R(Z m ) est
form´ e des m r´ eflexions par rapport aux m axes de sym´ etrie du polygone.
10.6.2 Marches al´ eatoires
Il est tr` es facile de cr´ eer des images fractales ayant un groupe de sym´ etrie
donn´ e. Pour g´ en´ erer une image Z 4 -sym´ etrique, il suffit de se donner une simple
contraction affine du plan S.
D’ apr` es le th´ eor` eme de Barnsley cit´ e ci-dessus, il existe une unique r´ egion
born´ ee R telle que
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Fig. 10.7. Sym´ etries du carr´ e
avec le groupe cyclique d’ordre m donn´ e par l’ensemble
Z m =
r
0
2π
m
, r
1
2π
m
, r
2
2π
m
, . . . , r
m−1
2π
m
=
r k
2π
m
: k ∈ {0, 1, . . . , (m − 1)}
avec la convention r 0 = Id, lorsque k = 0. Dans cette situation, on a encore
la propri´ et´ e d’invariance
S(C m ) = C m
pour toute transformation S ∈ D m . Pour conclure, on notera que R(Z m ) est
form´ e des m r´ eflexions par rapport aux m axes de sym´ etrie du polygone.
10.6.2 Marches al´ eatoires
Il est tr` es facile de cr´ eer des images fractales ayant un groupe de sym´ etrie
donn´ e. Pour g´ en´ erer une image Z 4 -sym´ etrique, il suffit de se donner une simple
contraction affine du plan S.
D’ apr` es le th´ eor` eme de Barnsley cit´ e ci-dessus, il existe une unique r´ egion
born´ ee R telle que