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10 Mod` eles de fractal dans la nature
z 1 = e
iα1
−→ z 1 × z = e
i (α1+α)
Il reste alors ` a noter que l’on a
z = e
iα = cos α + i sin α
et donc
z 1 = x+iy =⇒ z 1 z =(cos α+i sin α)(x+iy)=(x cos α−y sinα)+i(x sinα+y cosα)
En revenant aux coordonn´ ees cart´ esiennes, et par d´ efinition du produit matriciel, on obtient
r α
x
y
=
(x cos α − y sin α)
(x sin α + y cos α)
=
cos α − sin α
sin α cos α
x
y
Le carr´ e C est aussi invariant si l’on effectue une rotation r π
2
d’angle π/2.
Il va de soi que l’on peut m´ elanger et r´ ep´ eter ces deux op´ erations de retournement R et de rotation r π
2
, et la figure reste toujours inchang´ ee. Les huit
sym´ etries du carr´ e sont donc donn´ ees par les 4 ´ el´ ements du groupe cyclique
Z 4 =
r
0
π
2
, r
1
π
2
, r
2
π
2
, r
3
π
2
=
Id, r π
2
, r π , r 3π
2
et les 4 compos´ ees avec l’op´ eration de retournement
R(Z 4 ) =
R, Rr π
2
, Rr π , Rr 3π
2
Notons que ces quatre transformations repr´ esentent les sym´ etries du carr´ e par
rapports aux axes
Δ 1 = {y = 0} , Δ 2 = {x = −y} , Δ 3 = {x = 0} , et Δ 4 = {y = x}
Une repr´ esentation graphique des sym´ etries du carr´ e est donn´ ee dans la
figure 10.7.
L’ensemble form´ e par ces huit sym´ etries est appel´ e le groupe di´ edral d’ordre
8
D 4 = Z 4 ∪ R(Z 4 )
Pour toute transformation S ∈ D 4 , nous avons la propri´ et´ e d’invariance
S(C) = C
Plus g´ en´ eralement, le groupe des sym´ etries d’un polygone r´ egulier ` a m
cot´ es C m , centr´ e en l’origine, est donn´ e par le groupe di´ edral d’ordre (2m)
D m = Z m ∪ R(Z m )