10.6 Fractales sym´ etriques
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10.6 Fractales sym´ etriques
10.6.1 Les sym´ etries d’un polygone
Commen¸ cons par examiner la notion de sym´ etrie sur l’une des plus simples
formes g´ eom´ etriques connues, le carr´ e centr´ e en l’origine
C = [−1, 1]
2
Cette surface poss` ede huit sym´ etries. La premi` ere est la sym´ etrie par rapport
` a l’axe des abscisses. Autrement dit, si l’on retourne le carr´ e comme une
simple feuille de papier, on retrouve le mˆ eme carr´ e. Ce retournement de figure
s’exprime dans le rep` ere cart´ esien (0, x, y) par la transformation
R
x
y
=
x
−y
Autrement dit, nous avons R(C) = C, avec l’ensemble image
R(C) = {R(P ) : P ∈ C} =
R
x
y
:
x
y
∈ C
Pour les amateurs de matrices, cette op´ eration de retournement correspond
` a l’action de la matrice
R =
1 0
0 −1
sur les points P =
x
y
du plan euclidien R
2 . Pour satisfaire la curiosit´ e du
profane, rappelons que le produit matriciel est simplement une transformation
affine du plan d´ efinie par la formule suivante
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
x
y
=
a 1,1 x + a 1,2 y
a 2,1 x + a 2,2 y
Avec ces notations,une rotation r α d’angle α ∈ [0, 2π] s’exprime de fa¸ con
naturelle par l’action de la matrice
r α =
cos α − sin α
sin α cos α
On peut retrouver ces r´ esultats, en identifiant le cercle trigonom´ etrique avec
l’ensemble des nombres complexes de module unit´ e. Avec cette identification,
un point sur le cercle est donn´ e par le complexe
z = e
iα
o` u α d´ esigne l’angle entre l’axe des abscisses, et le rayon passant par le point
en question. Une rotation d’angle α est donc simplement d´ ecrite par le produit
complexe avec ce point
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10.6 Fractales sym´ etriques
10.6.1 Les sym´ etries d’un polygone
Commen¸ cons par examiner la notion de sym´ etrie sur l’une des plus simples
formes g´ eom´ etriques connues, le carr´ e centr´ e en l’origine
C = [−1, 1]
2
Cette surface poss` ede huit sym´ etries. La premi` ere est la sym´ etrie par rapport
` a l’axe des abscisses. Autrement dit, si l’on retourne le carr´ e comme une
simple feuille de papier, on retrouve le mˆ eme carr´ e. Ce retournement de figure
s’exprime dans le rep` ere cart´ esien (0, x, y) par la transformation
R
x
y
=
x
−y
Autrement dit, nous avons R(C) = C, avec l’ensemble image
R(C) = {R(P ) : P ∈ C} =
R
x
y
:
x
y
∈ C
Pour les amateurs de matrices, cette op´ eration de retournement correspond
` a l’action de la matrice
R =
1 0
0 −1
sur les points P =
x
y
du plan euclidien R
2 . Pour satisfaire la curiosit´ e du
profane, rappelons que le produit matriciel est simplement une transformation
affine du plan d´ efinie par la formule suivante
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
x
y
=
a 1,1 x + a 1,2 y
a 2,1 x + a 2,2 y
Avec ces notations,une rotation r α d’angle α ∈ [0, 2π] s’exprime de fa¸ con
naturelle par l’action de la matrice
r α =
cos α − sin α
sin α cos α
On peut retrouver ces r´ esultats, en identifiant le cercle trigonom´ etrique avec
l’ensemble des nombres complexes de module unit´ e. Avec cette identification,
un point sur le cercle est donn´ e par le complexe
z = e
iα
o` u α d´ esigne l’angle entre l’axe des abscisses, et le rayon passant par le point
en question. Une rotation d’angle α est donc simplement d´ ecrite par le produit
complexe avec ce point