1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
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pr´ eciser cette assertion, commen¸ cons par l’exemple le plus simple, o` u l’espace
d’´ etat est donn´ e par un ensemble ` a deux points E = {1, 2}. Dans ce cas, la
donn´ ee des transitions de la chaˆ ıne
M n (x, y) = P(X n = y|X n−1 = x)
est ´ equivalente ` a la donn´ ee des matrices (2 × 2) suivantes
M n = (M n (x, y)) x,y∈E =
M n (1, 1) M n (1, 2)
M n (2, 1) M n (2, 2)
Par exemple, la matrice
M =
6/7 1/7
1/2 1/2
correspond au mouvement al´ eatoire entre deux ´ etats E = {1, 2}, synth´ etis´ e
par le sch´ ema ci-dessous
1
2
6/7
1/7
1/2
1/2
Fig. 1.3. Chaˆ ıne `
a deux ´ etats
Par d´ efinition de l’op´ erateur de transition M n , nous avons, pour toute fonction
f sur E = {1, 2}, la formule matricielle
M n (f )(1)
M n (f )(2)
=
M n (1, 1) f (1) + M n (1, 2) f (2)
M n (2, 1) f (1) + M n (2, 2) f (2)
=
M n (1, 1) M n (1, 2)
M n (2, 1) M n (2, 2)
f (1)
f (2)
(1.3)
D’autre part, en utilisant la formule des conditionnements emboˆ ıt´ es
E(f (X n )) = E(E(f (X n )|X n−1 )) = E(M n (f )(X n−1 ))
on obtient une nouvelle formule matricielle
[η n (1), η n (2)] =
η n−1 (1) M n (1, 1) η n−1 (2) M n (2, 1)
η n−1 (1) M n (1, 2) η n−1 (2) M n (2, 2)
= [η n−1 (1), η n−1 (2)]
M n (1, 1) M n (1, 2)
M n (2, 1) M n (2, 2)
(1.4)