10.5 Quelques exemples
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C ∞ = (I ∞ × I ∞ ) avec I ∞ =
⎧
⎨
⎩
2
3
k≥0
α k
3 k : α k ∈ {0, 1}
⎫
⎬
⎭
Pour v´ erifier que l’algorithme stochastique X n converge vers le carr´ e de Sierpinski C ∞ , il convient d’introduire la notion de distance de X n ` a cet ensemble
d(X n , C ∞ ) =
inf
(x1,x2)∈C∞
|X
1
n − x
1
| + |X
2
n − x
2
|
On montre alors ais´ ement que X n converge exponentiellement vite vers C ∞
d(X n , C ∞ ) ≤
1
3 n [|X
1
0 | + |X
2
0 |]
n↑∞
−→ 0
10.5.4 Convergence ` a l’´ equilibre
Reprenons notre marcheur virtuel se baladant sur C en choisissant pas `
a
pas et au hasard l’une des transformations S Ai
X n = S A n (X n−1 )
D’apr` es la discussion pr´ ec´ edente, l’individu est condamn´ e `
a passer pas `
a pas
entre les carr´ es C n
X 0 ∈ C 0 = C → X 1 = S A 1 (X 0 ) ∈ S(C 0 ) = C 1 → . . .
. . . → X n = S A n (X n−1 ) ∈ S(C n−1 ) = C n−1
Mieux encore, on peut v´ erifier que sa position X n , `
a chaque instant n est uniform´ ement distribu´ ee sur C n , d` es que sa condition initiale X 0 est uniform´ ement
distribu´ ee sur C.
P(X 0 ∈ dx) = 1 C (x) dx ⇒ P(X n ∈ dx) =
9
4
n
1 Cn (x) dx
Ce pauvre marcheur marche pas `
a pas, et irr´ em´ ediablement vers un ensemble fractal bien mince, de surface nulle !
Pour montrer que C ∞ est de surface nulle, il commence par noter que le
compl´ ementaire de C 1 est form´ e de 5 carr´ es de surface
1
9 . Le compl´ ementaire
de C 2 est form´ e de ces 5 carr´ es de surface
1
9 , ainsi que de (4 × 5) carr´ es
suppl´ ementaires de surface
1
9 2 . Par suite, le compl´ ementaire de C 3 est form´ e
de 5 carr´ es de surface
1
9 , de (4 × 5) carr´ es de surface
1
9 2 , et de (4
2
× 5) carr´ es
suppl´ ementaires de surface
1
9 3 . En it´ erant ce raisonnement, on montre que la
surface du compl´ ementaire de C n est donn´ ee par
Aire(C − C n ) =
n
k=1
(4
k−1
× 5)
1
9 k =
5
9
×
1 −
4
9
n
1 −
4
9
= 1 −
4
9
n
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