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10 Mod` eles de fractal dans la nature
10.5.3 Une marche al´ eatoire vers le carr´ e de Sierpinski
Supposons qu’un marcheur virtuel d´ ecide de se promener sur le carr´ e C en
choisissant pas `
a pas et au hasard l’une des quatre transformations S Ai , i ∈
{1, 2, 3, 4}. Plus formellement, l’individu suit la dynamique al´ eatoire suivante
X n = S A n (X n−1 ) =
1
3
X n−1 +
2
3
A n
o` u n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, et uniformes
sur {1, 2, 3, 4}. Par d´ efinition des sommets (10.5), les deux coordonn´ ees du
marcheur
X n =
X
1
n
X
2
n
satisfont les r´ ecurrences al´ eatoire suivantes
X
1
n =
1
3
X
1
n−1 +
2
3
α n
X
2
n =
1
3
X
2
n−1 +
2
3
β n
(10.6)
avec des couples de variables al´ eatoires ind´ ependantes de Bernoulli (α n , β n )
uniform´ ement distribu´ ees sur {0, 1}
α n = x A n , et β n = y A n
Les ´ equations (10.6) permettent de d´ ecrire explicitement la position du marcheur en fonction de sa condition initiale X 0 ∈ C, et de ses diff´ erents choix
d’´ evolution (α n , β n ). Plus pr´ ecis´ ement, nous avons
X
1
n =
1
3 n X
1
0 +
2
3
n−1
k=0
α n−k
3 k
X
2
n =
1
3 n X
2
0 +
2
3
n−1
k=0
β n−k
3 k
(10.7)
Cette simple observation permet de v´ erifier que les ensembles C n sont d´ ecrits
par les ´ equations suivantes :
C = (I n × I n )
avec
I n =
1
3 n u 0 +
2
3
n−1
k=0
α k
3 k : u 0 ∈ [0, 1] et α k ∈ {0, 1}
Ces ensembles d´ ecroissants convergent, lorsque n tend vers l’infini, vers le
produit cart´ esien de deux discontinuum de Cantor