10.5 Quelques exemples
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Fig. 10.6. Repr´ esentation graphique des ensembles SA i SA j (C)
Par un raisonnement analogue, on montre que par l’action des transformations S Aj , avec j = 2, 3, 4, les quatre carr´ es S Ai (C), i = 1, 2, 3, 4, se transforment respectivement en quatre petits carr´ es `
a l’int´ erieur de S Aj (C). En
conclusion, l’ensemble
C 2 = S(C 1 )
est form´ e de 4
2 carr´ es de surface
1
9 2 . En it´ erant cette construction, on obtient
une suite d’ensembles
C n = S(C n−1 ) ⊂ C n−1
form´ es de 4
n carr´ es disjoints de surface 9
−n . Cette suite d´ ecroissante d’ensembles compacts converge lorsque n tend vers l’infini vers un ensemble non
vide appel´ e le carr´ e de Sierpinski
C n = S
n (C) ↓ C ∞ = ∩ n≥1 C n = ∅
On v´ erifie sans peine que l’ensemble C ∞ est un point fixe de la transformation
S
S(C ∞ ) = ∩ n≥1 S(C n ) = ∩ n≥1 C n+1 = ∩ n≥2 C n =⇒ S(C ∞ ) = C ∞