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10 Mod` eles de fractal dans la nature
C = C A1 ∪ C A2 ∪ C A3 ∪ C A4
Par construction, nous avons
S Ai (C) = C Ai pour chaque i = 1, 2, 3, 4
Il en d´ ecoule que le carr´ e C est un point fixe de l’op´ eration ensembliste
S : R ⊂ R
2
→ S(R) = S A1 (R) ∪ S A2 (R) ∪ S A3 (R) ∪ S A4 (R) ⊂ R
2
Pour s’en convaincre, il suffit de noter que
S(C) = S A1 (C) ∪ S A2 (C) ∪ S A3 (C) ∪ S A4 (C)
= C A1 ∪ C A2 ∪ C A3 ∪ C A4 = C
Supposons qu’un marcheur virtuel d´ ecide de se promener sur C en choisissant
pas `
a pas et au hasard l’une des transformations S Ai
X n = S A n (X n−1 )
o` u n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, et de mˆ eme loi
P( n = 1) = P( n = 2) = P( n = 3) = P( n = 4) =
1
4
Par d´ efinition de la transformation S et d’apr` es la propri´ et´ e de point fixe,
notre marcheur ne peut s’´ echapper du carr´ e
X 0 ∈ C → X 1 = S A 1 (X 0 ) ∈ S(C) = C → . . . → X n = S A n (X n−1 ) ∈ S(C) = C
Supposons que notre marcheur soit initialis´ e uniform´ ement sur un carr´ e C de
surface unit´ e
P(X 0 ∈ dx) = 1 C (x) dx
En utilisant les propri´ et´ es de conditionnements emboˆ ıt´ es, et pour toute fonction born´ ee suffisamment r´ eguli` ere f sur C, nous avons
E(f (X 1 )) = E(f (S A 1 (X 0 ))) = E(E(f (S A 1 (X 0 )) | X 0 ))
=
1
4
4
i=1
E (f (S i (X 0 )))
et
E (f (S i (X 0 ))) =
C
f (S i (x, y)) dxdy = 4
Ci
f (x, y) dxdy
La variable X 1 est donc `
a nouveau uniform´ ement r´ epartie sur le carr´ e C
E(f (X 1 )) =
4
i=1
Ci
f (x, y) dxdy =
C
f (x, y) dxdy = E(f (X 0 ))
La mesure uniforme sur C est donc une mesure invariante du mouvement
al´ eatoire.