10.5 Quelques exemples
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10.5.2 Le carr´ e de Sierpinski
On d´ efinit la transformation S A qui associe ` a un quelconque point du plan,
le point aux deux tiers de sa distance ` a A :
S A : P =
x
y
→ S A (P ) = S A
x
y
=
x +
2
3 (x A − x)
y +
2
3 (y A − y)
=
1
3 x +
2
3 x A
1
3 y +
2
3 y A
(10.4)
En terme vectoriel, nous avons
S A
x
y
=
1
3
1 0
0 1
x
y
+
2
3
x A
y A
ou encore de mani` ere plus synth´ etique
S A =
1
3
Id +
2
3
A
Apr` es l’action de S A , deux points quelconques du plan
P 1 =
x 1
y 1
et P 2 =
x 2
y 2
se rapprochent d’un tiers de leur distance :
d(S A (P 1 ), S A (P 2 )) =
1
3
×
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 =
1
3
× d(P 1 , P 2 )
On consid` ere le carr´ e unit´ e C = [0, 1]
2 de sommets
A 1 =
1
1
, A 2 =
1
0
, A 3 =
0
0
, A 4 =
0
1
(10.5)
Les transformations du carr´ e C de surface 4, par les applications S Ai sont
donn´ ees par des petits carr´ es de surface
1
9
S A1 (C) =
2
3
, 1
×
2
3
, 1
S A2 (C) =
2
3
, 1
×
0,
1
3
S A3 (C) =
0,
1
3
×
0,
1
3
S A4 (C) =
0,
1
3
×
2
3
, 1
Une repr´ esentation graphique des transformations S Ai est donn´ ee dans la
figure 10.5.