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10 Mod` eles de fractal dans la nature
1 − (a
2
1,1 + a
2
2,1 )
C1
x
2 +
1 − (a
2
1,2 + a
2
2,2 )
C2
y
2
− 2 (a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 )
C3
xy > 0
pour tout couple de nombres (x, y) = (0, 0). En examinant s´ epar´ ement cette
´ equation sur les deux axes (x = 0) et (y = 0), on s’aper¸ coit que les constantes
C 1 et C 2 doivent ˆ etre strictement positives. Autrement dit, les constantes a i,j
doivent ˆ etre telles que l’on a
a
2
1,1 + a
2
2,1 < 1 et a
2
1,2 + a
2
2,2 < 1
Dans cette situation, l’´ equation pr´ ec´ edente peut ˆ etre reformul´ ee sous la forme
suivante :
C 1 x −
C 3
√
C 1
y
2
−
1
C 1
C
2
3 − C 1 C 2
y
2 > 0
Cette ´ equation est statisfaite pour tout couple de nombres (x, y) = (0, 0), si
et seulement si nous avons
C
2
3 < C 1 C 2
En r´ esum´ e, les entr´ ees a i,j de la matrice A doivent ˆ etre telles que
(a 1,1 a 1,2 + a 2,1 a 2,2 )
2 <
1 − (a
2
1,1 + a
2
2,1 )
×
1 − (a
2
1,2 + a
2
2,2 )
avec
a
2
1,1 + a
2
2,1 < 1 et a
2
1,2 + a
2
2,2 < 1
En d´ eveloppant la premi` ere ´ equation, on a
a
2
1,1 a
2
1,2 + a
2
2,1 a
2
2,2 + 2a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2
< 1 − (a
2
1,1 + a
2
2,1 + a
2
1,2 + a
2
2,2 ) + (a
2
1,1 a
2
1,2 + a
2
1,1 a
2
2,2 + a
2
2,1 a
2
1,2 + a
2
2,1 a
2
2,2 )
Cette in´ egalit´ e est ´ equivalente ` a la suivante
(a
2
1,1 + a
2
2,1 + a
2
1,2 + a
2
2,2 ) < 1 + (a
2
1,1 a
2
2,2 + a
2
2,1 a
2
1,2 ) − 2a 1,1 a 1,2 a 2,1 a 2,2
On obtient finalement la condition n´ ecessaire et suffisante pour que S soit
une contraction
(a
2
1,1 + a
2
2,1 + a
2
1,2 + a
2
2,2 ) < 1 + (a 1,1 a 2,2 − a 2,1 a 1,2 )
2
avec
a
2
1,1 + a
2
2,1
< 1 et
a
2
1,2 + a
2
2,2
< 1
Les transformations S A qui associent ` a un quelconque point du plan P le
point `
a mi-distance d’un point fix´ e A v´ erifient clairement ces propri´ et´ es avec