10.4 Les contractions affines du plan
303
10.4.3 Formules de caract´ erisations
Une transformation affine S est une application du plan euclidien vers lui
mˆ eme
S :
x
y
→ S
x
y
= A
x
y
+ b
d´ efinie en terme d’une matrice A et d’un vecteur b
A =
a 1,1 a 1,2
a 2,1 a 2,2
et b =
x b
y b
Comment v´ erifier en un coup d’oeil que S est une contraction ?
Pour r´ epondre `
a cette question, on commence par noter les formules suivantes
S(P 1 ) =
(a 1,1 x 1 + a 1,2 y 1 ) + x b
(a 2,1 x 1 + a 2,2 y 1 ) + y b
et S(P 2 ) =
(a 1,1 x 2 + a 1,2 y 2 ) + x b
(a 2,1 x 2 + a 2,2 y 2 ) + y b
pour tout couple de points
P 1 =
x 1
y 1
et P 2 =
x 2
y 2
Par d´ efinition de la distance euclidienne, on a donc
d(S(P 1 ), S(P 2 ))
=
([a 1,1 x 1 + a 1,2 y 1 ] − [a 1,1 x 2 + a 1,2 y 2 ])
2 + ([a 2,1 x 1 + a 2,2 y 1 ] − [a 2,1 x 2 + a 2,2 y 2 ])
2
=
(a 1,1 [x 1 − x 2 ] + a 1,2 [y 1 − y 2 ])
2 + (a 2,1 [x 1 − x 2 ] + a 2,2 [y 1 − y 2 ])
2
et
d(P 1 , P 2 ) =
(x 1 − x 2 )
2 + (y 1 − y 2 )
2
Pour v´ erifier que l’on a
d(S(P 1 ), S(P 2 )) < d(P 1 , P 2 )
pour tout couple de points (P 1 , P 2 ), il est n´ ecessaire et suffisant de v´ erifier
que l’on a
(a 1,1 x + a 1,2 y)
2 + (a 2,1 x + a 2,2 y)
2 < x
2 + y
2
pour tout couple de nombres (x, y) = (0, 0). En d´ eveloppant cette ´ equation,
on obtient la propri´ et´ e ´ equivalente suivante :