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10 Mod` eles de fractal dans la nature
d(S
n
A (P ), A) = d(S A (S
n−1
A (P )), S A (A))
=
1
2
d(S
n−1
A (P ), A)
= . . .
=
1
2 n × d(P, A)
Par cons´ equent, quel que soit le point de d´ epart P de notre it´ eration, nous
avons
d(S
n
A (P ), A)
n↑∞
−→ 0 =⇒ S
n
A (P )
n↑∞
−→ A
10.4.2 Contractions ensemblistes
Toute contraction affine du plan S peut ˆ etre ´ etendue de fa¸ con naturelle
en une application sur l’ensemble de toutes les parties born´ ees du plan. Cette
extension, not´ ee abusivement par la mˆ eme lettre S, est d´ efinie de la fa¸ con
suivante :
S : R ⊂ R
2
→ S(R) = {S(x) : x ∈ R} ⊂ R
2
L’extension ensembliste de la transformation S A , qui associe `
a un quelconque point du plan P le point `
a mi-distance de A et de P , est ainsi donn´ ee
par
S A (R) =
S A
x
y
:
x
y
∈ R
Les propri´ et´ es de contractions d´ ecrites pr´ ec´ edemment permettent de v´ erifier
que les suites d’ensembles d´ ecroissants
S
n
A (R) = S A (S
n−1
A (R)) ⊂ S
n−1 (R)
convergent vers le singleton {A}, pour tout ensemble born´ e initialement choisi
R. Autrement dit, les ensembles it´ er´ es S
n
A (R) convergent vers l’unique point
fixe {A} = S A ({A}) de l’op´ erateur ensembliste S A .
Plus g´ en´ eralement, on peut associer ` a une famille de contractions affines
{S 1 , . . . , S d }, l’op´ erateur
S(R) = S 1 (R) ∪ S 2 (R) ∪ . . . ∪ S d (R)
sur l’ensemble de toutes les r´ egions born´ ees du plan R ⊂ R
2 . D’apr` es un
th´ eor` eme pr´ esent´ e par M. Barnsley dans [9], il existe un unique ensemble
born´ e I invariant par l’action de S
I = S(I)
Certains auteurs consid` erent ce point fixe comme une d´ efinition math´ ematique
d’une image fractale. Cette terminologie permet d’associer ` a une suite de
contractions affines {S 1 , . . . , S d } une unique image fractale.
10 Mod` eles de fractal dans la nature
d(S
n
A (P ), A) = d(S A (S
n−1
A (P )), S A (A))
=
1
2
d(S
n−1
A (P ), A)
= . . .
=
1
2 n × d(P, A)
Par cons´ equent, quel que soit le point de d´ epart P de notre it´ eration, nous
avons
d(S
n
A (P ), A)
n↑∞
−→ 0 =⇒ S
n
A (P )
n↑∞
−→ A
10.4.2 Contractions ensemblistes
Toute contraction affine du plan S peut ˆ etre ´ etendue de fa¸ con naturelle
en une application sur l’ensemble de toutes les parties born´ ees du plan. Cette
extension, not´ ee abusivement par la mˆ eme lettre S, est d´ efinie de la fa¸ con
suivante :
S : R ⊂ R
2
→ S(R) = {S(x) : x ∈ R} ⊂ R
2
L’extension ensembliste de la transformation S A , qui associe `
a un quelconque point du plan P le point `
a mi-distance de A et de P , est ainsi donn´ ee
par
S A (R) =
S A
x
y
:
x
y
∈ R
Les propri´ et´ es de contractions d´ ecrites pr´ ec´ edemment permettent de v´ erifier
que les suites d’ensembles d´ ecroissants
S
n
A (R) = S A (S
n−1
A (R)) ⊂ S
n−1 (R)
convergent vers le singleton {A}, pour tout ensemble born´ e initialement choisi
R. Autrement dit, les ensembles it´ er´ es S
n
A (R) convergent vers l’unique point
fixe {A} = S A ({A}) de l’op´ erateur ensembliste S A .
Plus g´ en´ eralement, on peut associer ` a une famille de contractions affines
{S 1 , . . . , S d }, l’op´ erateur
S(R) = S 1 (R) ∪ S 2 (R) ∪ . . . ∪ S d (R)
sur l’ensemble de toutes les r´ egions born´ ees du plan R ⊂ R
2 . D’apr` es un
th´ eor` eme pr´ esent´ e par M. Barnsley dans [9], il existe un unique ensemble
born´ e I invariant par l’action de S
I = S(I)
Certains auteurs consid` erent ce point fixe comme une d´ efinition math´ ematique
d’une image fractale. Cette terminologie permet d’associer ` a une suite de
contractions affines {S 1 , . . . , S d } une unique image fractale.