10.4 Les contractions affines du plan
301
A =
x A
y A
On d´ efinit la transformation S A qui associe `
a un quelconque point du plan P
le point `
a mi-distance de A et de P :
S A : P =
x
y
→ S A (P ) = S A
x
y
=
x+x A
2
y+y A
2
(10.3)
Cette transformation peut s’exprimer sous forme matricielle par la formule
suivante
S A
x
y
=
1
2 0
0
1
2
x
y
+
x A
2
y A
2
On se donne deux points dans le plan :
P 1 =
x 1
y 1
et P 2 =
x 2
y 2
La distance euclidienne entre ces deux points est donn´ ee par
d(P 1 , P 2 ) =
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2
Apr` es l’action de S A , ces deux points se sont rapproch´ es de moiti´ e :
d(S A (P 1 ), S A (P 2 )) =
x 1 − x 2
2
2
+
y 1 − y 2
2
2
=
1
2
×
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 =
1
2
× d(P 1 , P 2 )
Pour poursuivre notre discussion, il convient de noter que le point A est un
point fixe de la transformation S A .
Autrement dit, nous avons
S A (A) = A
Par construction, la transformation S A rapproche donc tous les points P du
point A d’un facteur 1/2 :
d(S A (P ), A) = d(S A (P ), S A (A)) =
1
2
d(P, A)
En it´ erant cette transformation
P → S A (P ) → S
2
A (P ) = S A (S A (P )) → . . . → S
n
A (P ) = S A (S
n−1
A (A))
les points S
n
A (P ) convergent irr´ em´ ediablement vers le point A. Plus formellement, nous avons