300
10 Mod` eles de fractal dans la nature
avec
X
n =
X 0
3 n +
2
3
n−1
k=0
k
3 k
La derni` ere assertion provient du fait que les vecteurs al´ eatoires ( 0 , , 2 ,.. , n−1 )
et ( n , , n−1 , . . . , , 1 ) sont distribu´ es selon la mˆ eme loi. On remarque ensuite la
majoration suivante
|X ∞ − X
n | ≤
X 0
3 n +
2
3
k≥n
k
3 k
≤
1
3 n +
2
3
k≥n
1
3 k =
1
3 n
⎛
⎝ 1 +
2
3
k≥0
1
3 k
⎞
⎠
=
1
3 n
1 +
2
3
1
1 −
1
3
=
2
3 n
On en conclut que
lim
n→∞
X
n = X ∞ et
lim
n→∞
E(f (X n )) = E(f (X ∞ ))
Par cons´ equent, le marcheur X n est asymptotiquement distribu´ e selon la loi
μ. Cette distribution μ correspond `
a la mesure invariante des transitions de
probabilit´ es du marcheur
M (x, dy) = P(X n ∈ dy | X n−1 = x)
D’apr` es la discussion pr´ ec´ edente, nous avons
μ(dy) =
I
μ(dx) M (x, dy)
En poursuivant cette ´ etude, on peut montrer que pour toute fonction born´ ee
suffisamment r´ eguli` ere f : I → R, et lorsque le temps n tend vers l’infini, nous
avons avec une probabilit´ e ´ egale `
a un
1
n
n
p=1
f (X p ) −→
I
f (x) μ(dx)
10.4 Les contractions affines du plan
10.4.1 Introduction
Une contraction affine du plan est tout simplement une transformation
lin´ eaire contractant les distances entre deux points. A titre d’exemple, on se
fixe un point A dans le plan