10.3 Le discontinuum de Cantor
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sur I 1 = S(I). En it´ erant ce raisonnement, on v´ erifie qu’` a chaque instant n,
l’individu peut se trouver sur un site quelconque X n dans I n . Autrement dit,
nous avons
P(X n ∈ dx) =
3
2
n
1 In (x) dx
V´ erifions plus pr´ ecis´ ement ce r´ esultat par r´ ecurrence sur le param` etre temporel. Ce r´ esultat est clairement vrai ` a l’instant initial. Supposons qu’il soit
v´ erifi´ e au rang (n − 1). On se donne une fonction f born´ ee suffisamment
r´ eguli` ere, et on calcule les int´ egrales
E(f (X n )) =
I
f (x) P(X n ∈ dx)
En utilisant les propri´ et´ es de conditionnements emboˆ ıt´ es, nous avons
E(f (X n )) = E(f (S n (X n−1 ))) = E(E(f (S n (X n−1 )) | X n−1 ))
=
1
2
× E (f (S 0 (X n−1 )) + f (S 1 (X n−1 )))
En utilisant notre hypoth` ese de r´ ecurrence, on obtient
E (f (S 0 (X n−1 ) + f (S 1 (X n−1 ))))
=
3
2
n−1
In−1
f (S 0 (x)) dx +
In−1
f (S 1 (x)) dx
= 3
3
2
n−1
S(In−1)
f (x) dx = 3
3
2
n−1
In
f (x) dx
On en conclut que
E(f (X n )) =
3
2
n
In
f (x) dx =
I
f (x)
3
2
n
1 In (x) dx
P(Xn∈dx)
10.3.3 La distribution invariante
Notons μ la distribution de la variable al´ eatoire
X ∞ =
2
3
񐡽
n≥0
n
3 n
o` u ( n ) n≥0 d´ esigne une suite de variables ind´ ependantes de mˆ eme loi que 1 .
La formule (10.2) permet de v´ erifier que l’on a pour toute fonction f continue
et born´ ee
E(f (X n )) = E
f
X 0
3 n +
2
3
n−1
k=0
n−k
3 k
= E (f (X
n ))