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10 Mod` eles de fractal dans la nature
0 +
1
9
I =
0,
1
9
,
2
9
+
1
9
I =
2
9
,
1
3
,
2
3
+
1
9
I =
2
3
,
7
9
,
8
9
+
1
9
I =
8
9
,
7
9
On peut aussi v´ erifier `
a nouveau la d´ ecroissance de ces ensembles en notant
que
1
3 n+1 x 0 +
2
3
n
k=0
α k
3 k =
1
3 n
1
3
x 0 +
2
3
α n
+
2
3
n−1
k=0
α k
3 k
On obtient ainsi ais´ ement que I n ⊃ I n+1 .Ces ensembles d ´
ecroissants convergent,
lorsque n tend vers l’infini, vers le discontinuum de Cantor
I ∞ =
⎧
⎨
⎩
2
3
k≥0
α k
3 k : α k ∈ {0, 1}
⎫
⎬
⎭
Pour v´ erifier que l’algorithme stochastique X n converge vers un point de I ∞ ,
il convient d’introduire la notion de distance de X n ` a cet ensemble
d(X n , I ∞ ) = inf
x∈I∞
(|X n − x|)
En utilisant les formules pr´ ec´ edentes, on montre que X n converge exponentiellement vite vers I ∞
d(X n , I ∞ ) ≤
1
3 n X 0
n↑∞
−→ 0
10.3.2 Description de la marche al´ eatoire
D’apr` es la discussion pr´ ec´ edente, le discontinuum de Cantor est un attracteur du processus d’exploration. Le marcheur s’approche de plus en plus de
l’ensemble de mesure nulle I ∞ . De plus, si le marcheur est initialis´ e en I ∞ , il
ne peut en sortir
X 0 ∈ I ∞ −→ X 1 = S 1 (X 0 ) ∈ S(I ∞ ) = I ∞ −→ . . .
. . . −→ X n = S n (X n−1 ) ∈ S(I ∞ ) = I ∞
Supposons d´ esormais que notre marcheur soit initialis´ e en un point uniform´ ement choisi sur l’intervalle I, c’est-` a-dire
P(X 0 ∈ dx) = 1 I (x) dx
`
A l’instant suivant, il a une chance sur deux de se trouver dans l’un des intervalles S 0 (I) ou S 1 (I). Sa nouvelle position X 1 est donc uniform´ ement r´ epartie