10.3 Le discontinuum de Cantor
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Fig. 10.3. Evolution du marcheur Xn sur le discontinuum de Cantor
En it´ erant ce proc´ ed´ e, on montre que
X n =
1
3 n X 0 +
2
3
n−1
k=0
n−k
3 k
(10.2)
Cette simple observation permet de v´ erifier que les ensembles I n sont d´ ecrits
par les ´ equations suivantes :
I n =
1
3 n x 0 +
2
3
n−1
k=0
α k
3 k : x 0 ∈ [0, 1] et α k ∈ {0, 1}
On a par exemple
I 2 =
1
9
x 0 +
2
3
α 0 +
α 1
3
: x 0 ∈ [0, 1] et α 0 , α 1 ∈ {0, 1}
On retrouve les expressions d´ ecrites ` a la page 293, en remarquant que
2
3
0 +
0
3
= 0 ,
2
3
1 +
0
3
=
2
3
,
2
3
0 +
1
3
=
2
9
,
2
3
1 +
1
3
=
8
9
et