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10 Mod` eles de fractal dans la nature
o` u n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, et de mˆ eme loi
P( n = 0) = P( n = 1) =
1
2
Ces variables repr´ esentent les r´ esultats de nos choix de mouvement au cours
du temps. Lorsque n = 1, l’individu se d´ eplace vers la gauche sur un site `
a
deux tiers de sa distance `
a 0
S 0 (X n−1 ) = X n−1 +
2
3
(0 − X n−1 ) =
X n−1
3
Dans le cas contraire, on a n = 1, et l’individu se d´ eplace vers la droite sur
un site `
a deux tiers de sa distance ` a 1
S 1 (X n−1 ) = X n−1 +
2
3
(1 − X n−1 ) =
X n−1 + 2
3
On a donc de mani` ere ´ equivalente
X n =
1
3
X n−1 +
2
3
n
(10.1)
`
A chaque instant n, on notera que notre marcheur vit sur un ensemble I n
dont la surface est de plus en plus mince. En effet, par d´ efinition de la transformation
J ⊂ I → S(J) = S 0 (J) ∪ S 1 (J)
nous avons
X 0 ∈ I 0 = I → X 1 = S 1 (X 0 ) ∈ S(I 0 ) = I 1 → . . .
. . . → X n = S n (X n−1 ) ∈ S(I n−1 ) = I n
Notre pauvre marcheur a donc tr` es peu de libert´ e de mouvement ! A chaque
´ etape n, il se trouve dans une r´ egion dont la longueur est donn´ ee par la formule
suivante :
Long(I n ) = 1 − Long(J n ) =
2
3
n
Une repr´ esentation graphique du marcheur X n est donn´ ee dans la figure 10.3.
L’´ equation (10.1) permet d’´ ecrire explicitement la position du marcheur en
fonction de sa condition initiale X 0 ∈ I, et de ses diff´ erents choix d’´ evolution
n . Plus pr´ ecis´ ement, nous avons
X n =
1
3
X n−1 +
2
3
n
=
1
3 2 X n−2 +
2
3
1
3
n−1 + n
=
1
3 3 X n−3 +
2
3
1
3 2 n−2 +
1
3
n−1 + n