10.3 Le discontinuum de Cantor
295
Fig. 10.2. Compl´ ementaire du discontinuum de Cantor
Ces ensembles sont aussi d´ efinis par la formule de r´ ecurrence
J n = S(J n−1 ) ⊃ J n−1 ↑ J ∞ = ∪ k≥1 J k
L’ensemble J ∞ prend beaucoup de place dans l’intervalle I ! En effet, la longueur de chaque r´ eunion d’intervalles J n est donn´ ee par
Long(J n ) = Long
∪
n
k=1
∪
2
k−1
l=1 J k,l
=
n
k=1
2
k−1
l=1
Long(J k,l )
=
n
k=1
2
k−1 1
3 k =
1
3
×
1 −
2
3
n
1 −
2
3
= 1 −
2
3
n
↑ Long(J ∞ ) = 1 lorsque n ↑ ∞
=⇒ Long(I n ) ↓ Long(I ∞ ) = 0
10.3.1 Convergence ` a l’´ equilibre
Supposons qu’un marcheur virtuel d´ ecide de se promener sur l’intervalle
I en choisissant pas `
a pas et au hasard l’une des deux transformations S 0 et
S 1 . Plus formellement, l’individu suit la dynamique discr` ete suivante
X n = S n (X n−1 )
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Fig. 10.2. Compl´ ementaire du discontinuum de Cantor
Ces ensembles sont aussi d´ efinis par la formule de r´ ecurrence
J n = S(J n−1 ) ⊃ J n−1 ↑ J ∞ = ∪ k≥1 J k
L’ensemble J ∞ prend beaucoup de place dans l’intervalle I ! En effet, la longueur de chaque r´ eunion d’intervalles J n est donn´ ee par
Long(J n ) = Long
∪
n
k=1
∪
2
k−1
l=1 J k,l
=
n
k=1
2
k−1
l=1
Long(J k,l )
=
n
k=1
2
k−1 1
3 k =
1
3
×
1 −
2
3
n
1 −
2
3
= 1 −
2
3
n
↑ Long(J ∞ ) = 1 lorsque n ↑ ∞
=⇒ Long(I n ) ↓ Long(I ∞ ) = 0
10.3.1 Convergence ` a l’´ equilibre
Supposons qu’un marcheur virtuel d´ ecide de se promener sur l’intervalle
I en choisissant pas `
a pas et au hasard l’une des deux transformations S 0 et
S 1 . Plus formellement, l’individu suit la dynamique discr` ete suivante
X n = S n (X n−1 )