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10 Mod` eles de fractal dans la nature
Fig. 10.1. Discontinuum de Cantor
Diam` etre de la r´ egion invariante
Afin de pr´ eciser l’´ epaisseur de I ∞ , on observe que les ensembles compl´ ementaires
J n = I
c
n = ∪
n
k=1
∪
2
k−1
l=1 J k,l
sont form´ es ` a partir d’une s´ equence de 2
k−1 intervalles disjoints (J k,l ) l=1,...,2 k−1
de longueur 3
−k , avec k = 1, . . . , n. Une description graphique des ensembles
J n et J k,l est donn´ ee dans la figure 10.2.
On notera par la suite
J k = ∪
2
k−1
l=1 J k,l
l’ensemble form´ e par la r´ eunion des intervalles de longueur 3
−k . On a par
exemple
J 1 = J 1,1 =
1
3
,
2
3
J 2 = ∪
2
l=1 J 2,l = S 0 (J 1 ) ∪ S 1 (J 1 ) =
1
9
,
2
9
∪
7
9
,
8
9
J 3 = ∪
4
l=1 J 3,l = S 0 (J 2 ) ∪ S 1 (J 2 )
=
1
27
,
2
27
∪
7
27
,
8
27
∪
19
27
,
20
27
∪
25
27
,
26
27
1/3
2/3
0
1
1/9
2/9
7/9
8/9
1/27
7/27
8/27
19/27
20/27
25/27
26/27
S
0
1
S
S
0
S
0
S
0
S
0
S
0
0
S
0 0
S
0 0
S
0
S
0 0
S
0 0
S
0 0
S
0 0
S
0 0
S
0 0
S
0 0
1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S 1
S
1
S
1
S
1
S 1
S
1
2
3
4
I
I
I
I