10.3 Le discontinuum de Cantor
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pour chaque x, y ∈ I, et pour chaque i = 0, 1. Cependant, l’intervalle unit´ e I
n’est plus un point fixe de la transformation d’ensembles
S : J ⊂ I → S(J) = S 0 (J) ∪ S 1 (J) = S 0 (J) ∪
2
3
+ S 0 (J)
⊂ I
En effet, nous avons
S 0 (I) =
0,
1
3
et S 1 (I) =
2
3
+ S 0 (I) =
2
3
, 1
et donc
I = S(I) = (S 0 (I) ∪ S 1 (I)) =
0,
1
3
∪
2
3
, 1
Pour d´ ecrire le point fixe de l’op´ erateur ensembliste S, il convient d’introduire
la suite d’ensembles d´ ecroissants suivante :
I 1 = S(I) =
0,
1
3
∪
2
3
, 1
I 2 = S
2 (I) = S(I 1 ) =
0,
1
9
∪
2
9
,
1
3
∪
6
9
,
7
9
∪
8
9
, 1
𚵿
I 3 = S
3 (I) = S(I 2 )
=
0,
1
27
∪
2
27
,
1
9
∪
6
27
,
7
27
∪
8
27
,
1
3
∪
2
3
,
19
27
∪
20
27
,
21
27
∪
8
9
,
25
27
∪
26
27
, 1
𚵿
Une description graphique de ces d´ ecoupages est donn´ ee dans la figure 10.1.
Les ensembles I n d´ efinis par cette r´ ecurrence
I n = S(I n−1 ) ⊂ I n−1
sont donc form´ es de 2
n intervalles (I k,n ) k=1,...,2 n de longueur 3
−n
I n = ∪
2
n
k=1 I k,n
Cette suite d´ ecroissante d’ensembles converge lorsque n tend vers l’infini vers
un ensemble non vide appel´ e le discontinuum de Cantor
I n = S
n (I) ↓ I ∞ = ∩ n≥1 I n = ∅
On v´ erifie sans peine que l’ensemble I ∞ est un point fixe de la transformation
S
S(I ∞ ) = ∩ n≥1 S(I n ) = ∩ n≥1 I n+1 = ∩ n≥2 I n =⇒ S(I ∞ ) = I ∞