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10 Mod` eles de fractal dans la nature
I = S 0 (I) ∪ S 1 (I)
nous conduit `
a penser que la mesure uniforme sur le segment I est une mesure invariante du mouvement al´ eatoire. Autrement dit, si X 0 est distribu´ e
uniform´ ement sur I, le point suivant X 1 est encore uniform´ ement r´ eparti sur
l’intervalle. Pour v´ erifier math´ ematiquement notre intuition, on suppose que
X 0 est une variable uniforme sur le segment unit´ e I
P(X 0 ∈ dx) = 1 I (x) dx
Pour calculer la loi du point suivant X 1 , on se donne une fonction born´ ee
suffisamment r´ eguli` ere, et on calcule l’int´ egrale
E(f (X 1 )) =
I
f (x) P(X 1 ∈ dx)
En utilisant les propri´ et´ es de conditionnement emboˆ ıt´ es, nous avons
E(f (X 1 )) = E(f (S 1 (X 0 ))) = E(E(f (S 1 (X 0 )) | X 0 ))
et
E(f (S 1 (X 0 )) | X 0 ) =
1
2
× (f (S 0 (X 0 )) + f (S 1 (X 0 )))
D’autre part, en utilisant le fait que le point X 0 est uniform´ ement r´ eparti sur
I, on obtient pour chaque indice i = 0, 1
E (f (S i (X 0 ))) =
I
f (S i (x)) dx = 2
Si(I)
f (x) dx = 2
Ii
f (x) dx
On en conclut que X 1 est bien distribu´ e sur I selon la mˆ eme loi que X 0
E(f (X 1 )) =
I0
f (x) dx +
I1
f (x) dx =
I
f (x) dx = E(f (X 0 ))
10.3 Le discontinuum de Cantor
On consid` ere d´ esormais le couple de transformations sur le segment unit´ e
I = [0, 1] d´ efinies par les formules suivantes :
S 0 (x) =
x
3
et S 1 (x) =
x + 2
3
=
2
3
+ S 0 (x)
On peut ` a nouveau noter que ces applications lin´ eaires sont contractantes, au
sens o` u
|S i (x) − S i (y)| =
1
3
|x − y| < |x − y|