10.2 R´ epartitions uniformes
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10.2 R´ epartitions uniformes
On consid` ere le couple de transformations (S 0 , S 1 ) sur le segment unit´ e
I = [0, 1], qui associe ` a un point les points `
a mi-distance des extr´ emit´ es de
l’intervalle I. Plus formellement, ces deux applications affines sont donn´ ees
par les formules suivantes :
S 0 (x) = x +
0 − x
2
=
x
2
et S 1 (x) = x +
1 − x
2
=
1
2
+ S 0 (x)
Ces transformations contractent le plan, au sens o` u les distances entre les
points x, y ∈ I diminuent
|S 0 (x) − S 0 (y)| = |S 1 (x) − S 1 (y)| =
1
2
|x − y| < |x − y|
Dans les deux cas, l’intervalle I est r´ eduit de moiti´ e, et on a la partition
I = (I 0 ∪ I 1 ) avec I 0 = S 0 (I) =
0,
1
2
et I 1 = S 1 (I) =
1
2
, 1
L’intervalle I est donc un point fixe de la transformation d’ensembles
S : J ⊂ I → S(J) = S 0 (J) ∪ S 1 (J) ⊂ I
Plus pr´ ecis´ ement, d’apr` es les remarques pr´ ec´ edentes, nous avons
S(I) = S 0 (I) ∪ S 1 (I) = I 0 ∪ I 1 = I
Supposons que l’on d´ ecide de se promener sur cet intervalle suivant la
dynamique discr` ete suivante
X n = S n (X n−1 )
o` u n d´ esigne une suite de variables al´ eatoires, ind´ ependantes, et de mˆ eme loi
P( n = 0) = P( n = 1) =
1
2
Ces variables repr´ esentent les r´ esultats de nos choix de mouvement au cours
du temps. `
A titre d’exemple, la s´ equence
1 = 0 , , 2 = 0 , , 3 = 1 , , 4 = 0
correspond `
a la balade pas ` a pas dans I donn´ ee de fa¸ con sch´ ematique par le
graphe de mouvement suivant
X 0 −→ X 1 = S 0 (X 0 ) −→ X 2 = S 0 (X 1 ) −→ X 3 = S 1 (X 2 ) −→ X 4 = S 0 (X 3 )
Le marcheur se rapproche de l’origine 0 ou du point 1 selon la transformation
choisie. Cette alternance de mouvement sur un intervalle point fixe