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10 Mod` eles de fractal dans la nature
des processus d’exploration al´ eatoires convergeant vers des images fractales
sym´ etriques. Cette ´ emergence de formes sym´ etriques est `
a nouveau le fruit
des propri´ et´ es ergodiques des processus stochastiques.
En guise d’introduction, la section 10.2 propose un des exemples les plus
´ el´ ementaires d’exploration al´ eatoire du segment unit´ e I = [0, 1]. `
A chaque
´ etape de l’´ evolution, le marcheur virtuel choisit al´ eatoirement un point `
a midistance de l’une des deux extr´ emit´ es de l’intervalle. Nous montrerons qu’un
individu plac´ e au hasard dans I reste toujours uniform´ ement r´ eparti sur cet
intervalle.
Les premiers pas vers des formes fractales sont franchis d` es la section 10.3,
consacr´ ee au discontinuum de Cantor. Cette section pr´ esente une ´ evolution
d’un marcheur virtuel sur le segment unit´ e l´ eg` erement diff´ erente de celle examin´ ee dans la section 10.2. Dans cet exemple, `
a chaque instant l’individu saute
al´ eatoirement sur le site situ´ e `
a exactement deux tiers de fois sa distance ` a
l’une des deux extr´ emit´ es de l’intervalle. Le marcheur, initialis´ e au hasard sur
l’intervalle, se trouve alors condamn´ e `
a vivre sur des segments de plus en plus
fins, et de plus en plus proches du discontinuum de Cantor.
Les sections suivantes concernent l’´ elaboration de formes fractales dans le
plan. Ces images sont des objets math´ ematiques profond´ ement sym´ etriques.
Elles peuvent ˆ etre dessin´ ees au fil du temps selon des techniques de dessin
pointillistes, anim´ ees par certains processus chaotiques, aussi impr´ evisibles,
qu’insaisissables. Cependant, l’´ emergence de la sym´ etrie du chaos n’est pas le
fruit d’un pur hasard. Ces syst` emes chaotiques doivent ˆ etre ´ elabor´ es ` a partir de
certaines r` egles bien pr´ ecises. Dans le cas des fractales sym´ etriques, ces r` egles
de transformations sont donn´ ees par des contractions affines. Ces derni` eres
conf` erent au syst` eme chaotique les propri´ et´ es g´ eom´ etriques n´ ecessaires ` a la
naissance du fractal. La section 10.4 propose une br` eve ´ etude sur les contractions affines du plan. La section suivante, section 10.5, pr´ esente deux types
d’´ evolutions al´ eatoires sur le carr´ e unit´ e. Ces deux processus al´ eatoires sont
les extensions bi-dimensionnelles des deux mod` eles d’´ evolution d´ ecrits dans
la section 10.2, et la section 10.3. Le premier mod` ele est une simple exploration al´ eatoire sur un carr´ e. Dans la premi` ere situation examin´ ee, le marcheur
choisit au hasard, et pas `
a pas, un point `
a mi-distance de l’une des quatre
extr´ emit´ es. Comme pour la marche uniforme sur le segment unit´ e, le marcheur reste uniform´ ement r´ eparti sur le carr´ e, d` es qu’il d´ ebute en un point
choisi au hasard dans cette figure.
Dans le second mod` ele ´ etudi´ e, le marcheur choisit au hasard un point situ´ e
` a exactement deux tiers de sa distance ` a l’une des quatre extr´ emit´ es du carr´ e.
Le marcheur initialis´ e au hasard sur le carr´ e se trouve alors condamn´ e `
a vivre
sur des petits carr´ es de plus en plus ´ etroits, et de plus en plus proche du carr´ e
de Sierpinski.
10 Mod` eles de fractal dans la nature
des processus d’exploration al´ eatoires convergeant vers des images fractales
sym´ etriques. Cette ´ emergence de formes sym´ etriques est `
a nouveau le fruit
des propri´ et´ es ergodiques des processus stochastiques.
En guise d’introduction, la section 10.2 propose un des exemples les plus
´ el´ ementaires d’exploration al´ eatoire du segment unit´ e I = [0, 1]. `
A chaque
´ etape de l’´ evolution, le marcheur virtuel choisit al´ eatoirement un point `
a midistance de l’une des deux extr´ emit´ es de l’intervalle. Nous montrerons qu’un
individu plac´ e au hasard dans I reste toujours uniform´ ement r´ eparti sur cet
intervalle.
Les premiers pas vers des formes fractales sont franchis d` es la section 10.3,
consacr´ ee au discontinuum de Cantor. Cette section pr´ esente une ´ evolution
d’un marcheur virtuel sur le segment unit´ e l´ eg` erement diff´ erente de celle examin´ ee dans la section 10.2. Dans cet exemple, `
a chaque instant l’individu saute
al´ eatoirement sur le site situ´ e `
a exactement deux tiers de fois sa distance ` a
l’une des deux extr´ emit´ es de l’intervalle. Le marcheur, initialis´ e au hasard sur
l’intervalle, se trouve alors condamn´ e `
a vivre sur des segments de plus en plus
fins, et de plus en plus proches du discontinuum de Cantor.
Les sections suivantes concernent l’´ elaboration de formes fractales dans le
plan. Ces images sont des objets math´ ematiques profond´ ement sym´ etriques.
Elles peuvent ˆ etre dessin´ ees au fil du temps selon des techniques de dessin
pointillistes, anim´ ees par certains processus chaotiques, aussi impr´ evisibles,
qu’insaisissables. Cependant, l’´ emergence de la sym´ etrie du chaos n’est pas le
fruit d’un pur hasard. Ces syst` emes chaotiques doivent ˆ etre ´ elabor´ es ` a partir de
certaines r` egles bien pr´ ecises. Dans le cas des fractales sym´ etriques, ces r` egles
de transformations sont donn´ ees par des contractions affines. Ces derni` eres
conf` erent au syst` eme chaotique les propri´ et´ es g´ eom´ etriques n´ ecessaires ` a la
naissance du fractal. La section 10.4 propose une br` eve ´ etude sur les contractions affines du plan. La section suivante, section 10.5, pr´ esente deux types
d’´ evolutions al´ eatoires sur le carr´ e unit´ e. Ces deux processus al´ eatoires sont
les extensions bi-dimensionnelles des deux mod` eles d’´ evolution d´ ecrits dans
la section 10.2, et la section 10.3. Le premier mod` ele est une simple exploration al´ eatoire sur un carr´ e. Dans la premi` ere situation examin´ ee, le marcheur
choisit au hasard, et pas `
a pas, un point `
a mi-distance de l’une des quatre
extr´ emit´ es. Comme pour la marche uniforme sur le segment unit´ e, le marcheur reste uniform´ ement r´ eparti sur le carr´ e, d` es qu’il d´ ebute en un point
choisi au hasard dans cette figure.
Dans le second mod` ele ´ etudi´ e, le marcheur choisit au hasard un point situ´ e
` a exactement deux tiers de sa distance ` a l’une des quatre extr´ emit´ es du carr´ e.
Le marcheur initialis´ e au hasard sur le carr´ e se trouve alors condamn´ e `
a vivre
sur des petits carr´ es de plus en plus ´ etroits, et de plus en plus proche du carr´ e
de Sierpinski.