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Mod` eles de fractal dans la nature
10.1 Introduction
Les formes fractales sont des mod` eles math´ ematiques hautement sym´ etriques. On a beau les tourner et les retourner dans tous les sens suivant
certains angles, on retrouve toujours la mˆ eme forme. Plus fort encore, si on
les observe avec une loupe aussi puissante que l’on veut, on retrouve ` a nouveau
les mˆ emes images !
Ces formes sont donc invariantes par l’action d’un certain nombre d’op´ erations. C’est ce que l’on appelle commun´ ement en math´ ematique, des points
fixes de transformations du plan ou de l’espace. Ces objets tout autant artistiques que math´ ematiques ont ´ et´ e introduits r´ ecemment en 1982 dans le
monographe [122], par le c´ el` ebre math´ ematicien Benoit Mandelbrot. Le lecteur int´ eress´ e par la beaut´ e de ces formes math´ ematiques peut consulter le
catalogue d’images fractales pr´ esent´ e dans l’ouvrage de Michael Field et de
Martin Golubitsky dont nous nous sommes inspir´ es pour la r´ edaction de cette
section [60].
Depuis cette p´ eriode, les chercheurs de divers horizons ont pu identifier la
nature fractale de certains v´ eg´ etaux tels le chou romanesco, de ph´ enom` enes
physiques tels le flocon de neige de Von Koch, les turbulences atmosph´ eriques,
le relief des surfaces de plan` etes ou plus r´ ecemment celle des ´ evolutions de
cours d’actions dans les march´ es financiers. Selon certains auteurs, tels B
Sapoval [137], les propri´ et´ es de sym´ etrie des fractals pourraient bien ˆ etre associ´ ees `
a des principes d’universalit´ e. Les mˆ emes structures g´ eom´ etriques fractales se d´ eveloppent dans des conditions totalement diff´ erentes sur des objets
en apparence sans aucun rapport : les d´ epˆ ots ´ electrolitiques sous un champ
´ electromagn´ etique, les croissances de colonies bact´ eriennes, les angiogramme
de la r´ etine humaine, les arborescences de cuivre, et bien d’autres !
Nous avons choisi de nous restreindre `
a l’´ etude d’images fractales `
a une
ou deux dimensions. L’analyse de ces formes dans l’espace ` a trois dimensions
suit les mˆ emes principes, mais elle est plus complexe et bien trop gourmande
en notations. Un des principaux objectifs de cette section est de construire
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_10,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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Mod` eles de fractal dans la nature
10.1 Introduction
Les formes fractales sont des mod` eles math´ ematiques hautement sym´ etriques. On a beau les tourner et les retourner dans tous les sens suivant
certains angles, on retrouve toujours la mˆ eme forme. Plus fort encore, si on
les observe avec une loupe aussi puissante que l’on veut, on retrouve ` a nouveau
les mˆ emes images !
Ces formes sont donc invariantes par l’action d’un certain nombre d’op´ erations. C’est ce que l’on appelle commun´ ement en math´ ematique, des points
fixes de transformations du plan ou de l’espace. Ces objets tout autant artistiques que math´ ematiques ont ´ et´ e introduits r´ ecemment en 1982 dans le
monographe [122], par le c´ el` ebre math´ ematicien Benoit Mandelbrot. Le lecteur int´ eress´ e par la beaut´ e de ces formes math´ ematiques peut consulter le
catalogue d’images fractales pr´ esent´ e dans l’ouvrage de Michael Field et de
Martin Golubitsky dont nous nous sommes inspir´ es pour la r´ edaction de cette
section [60].
Depuis cette p´ eriode, les chercheurs de divers horizons ont pu identifier la
nature fractale de certains v´ eg´ etaux tels le chou romanesco, de ph´ enom` enes
physiques tels le flocon de neige de Von Koch, les turbulences atmosph´ eriques,
le relief des surfaces de plan` etes ou plus r´ ecemment celle des ´ evolutions de
cours d’actions dans les march´ es financiers. Selon certains auteurs, tels B
Sapoval [137], les propri´ et´ es de sym´ etrie des fractals pourraient bien ˆ etre associ´ ees `
a des principes d’universalit´ e. Les mˆ emes structures g´ eom´ etriques fractales se d´ eveloppent dans des conditions totalement diff´ erentes sur des objets
en apparence sans aucun rapport : les d´ epˆ ots ´ electrolitiques sous un champ
´ electromagn´ etique, les croissances de colonies bact´ eriennes, les angiogramme
de la r´ etine humaine, les arborescences de cuivre, et bien d’autres !
Nous avons choisi de nous restreindre `
a l’´ etude d’images fractales `
a une
ou deux dimensions. L’analyse de ces formes dans l’espace ` a trois dimensions
suit les mˆ emes principes, mais elle est plus complexe et bien trop gourmande
en notations. Un des principaux objectifs de cette section est de construire
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_10,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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