1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
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L’ordre des sommes ´ etant sans importance, on simplifie les notations, et on
´ ecrit tout simplement
η n = η p M p,n avec M p,n = M p+1 M p+2 . . . M n
(1.2)
Nous avons donc montr´ e que les op´ erateurs M p,n , 0 ≤ p ≤ n, correspondent
au semigroupe d’´ evolution du flot de mesures (η n ) n≥0 .
Lorsque la chaˆ ıne est homog` ene, ces op´ erateurs correspondent ` a la composition du mˆ eme op´ erateur de transition M . Dans cette situation, on utilise
souvent les notations synth´ etiques suivantes
M p,p+n = M
n
et η n = η 0 M
n
avec M
n = M
n−1 M = MM
n−1
1.2.2 Processus historique
On consid` ere une chaˆ ıne de Markov discr` ete X
n ` a valeurs dans un espace
au plus d´ enombrable E
. On note M
n (x
, y
), la probabilit´ e de passage de
X
n−1 = x
vers X
n = y
. La s´ equence de trajectoires al´ eatoires
X n = (X
0 , . . . , X
n ) ∈ E n = d´ ef. (E
)
n+1
forme `
a nouveau une chaˆ ıne de Markov ` a valeurs dans les espaces trajectoriels
E n . En effet, le passage de X n ` a X n+1 s’effectue en deux temps. On conserve
tout d’abord le segment de trajectoire X n = (X
0 , . . . , X
n ), puis on lui adjoint
une extension ´ el´ ementaire X
n+1 = x
de loi M
n+1 (X
n , x
). Autrement dit,
nous avons
X n = (X
0 , . . . , X
n ) X n+1 = ((X
0 , . . . , X
n )
, X
n+1 )
= (
X n
, X
n+1 ) ∈ E n+1 = (E n × E
)
La figure 1.2 repr´ esente l’´ evolution du processus historique sur n = 8
it´ erations. On notera la correspondance entre la diagonale des points terminaux du processus historique et celle du processus de r´ ef´ erence.
On notera que pour toute fonction f n+1 born´ ee sur E n+1 , et pour tout
segment de trajectoire x n = (x
0 , . . . , x
n ) ∈ E n , nous avons
E(f n+1 (X n+1 ) | X n = x n )
= E(f n+1 ([X
0 , . . . , X
n ], X
n+1 ) | (X
0 , . . . , X
n ) = (x
0 , . . . , x
n ))
=
x
n+1 ∈E f n+1 ([x
0 , . . . , x
n ], x
n+1 ) M
n+1 (x
n , x
n+1 )