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1 C h a ˆ ınes de Markov discr` etes
!

Fig. 1.1. Evolution des lois des ´ etats d’une chaˆ ıne de Markov
M p,n (x, y)
=
xp+1∈E,...,xn−1∈E M p+1 (x, x p+1 )M p+1 (x p+1 , x p+2 ) . . . M n (x n−1 , y)
On en d´ eduit une formulation des transitions conditionnelles X p X n ,
en terme de compositions d’op´ erateurs
M p,n (f ) = M p+1 M p+2 . . . M n (f )
En utilisant la formule
∀p ≤ n
E(f (X n )) = E(E(f (X n )|X p )) = E(M p,n (f )(X p ))
on en conclut que
η n (f ) = η p (M p,n f ) =
x∈E
η p (x)[
y∈E
M p,n (x, y)f (y)]
= (η p M p,n )(f ) =
y∈E
(
x∈E
η p (x)M p,n (x, y)) f (y)