1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
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η n (f ) = E(E(f (X n )|X n−1 ))
= E( M n (f )(X n−1 ) )
=
x∈E
η n−1 (x) M n (f )(x) = η n−1 (M n (f ))
Autrement dit, les lois η n des diff´ erents ´ etats de la chaˆ ıne de Markov
X n peuvent “se calculer” r´ ecursivement. Ces derni` eres sont solutions d’un
syst` eme dynamique discret ` a valeurs dans l’espace des probabilit´ es :
η n = η n−1 M n
La figure 1.1 repr´ esente une ´ evolution des lois des ´ etats al´ eatoires d’une chaˆ ıne
de Markov au cours du temps. Les trajectoires al´ eatoires sont d´ ecrites par les
lignes rouges. Dans cet exemple, la chaˆ ıne est attir´ ee entre les instants t 0 et t 1
vers le haut ou vers le bas. Dans un second temps, entre t 1 et t 2 elle commence
` a se r´ epartir sur tout l’espace autour de ces valeurs initiales. La premi` ere phase
peut s’interpr´ eter comme une ´ etape transitoire, la seconde comme un d´ ebut
de convergence `
a l’´ equilibre.
Notre prochain objectif est de d´ ecrire plus pr´ ecisement le semigroupe
d’´ evolution du flot de mesures (η n ) n . On introduit pour cela la probabilit´ e
conditionnelle de X n en X p
M p,n (x, y) = P
Xn|Xp (y|x) = P(X n = y | X p = x)
avec 0 ≤ p ≤ n, Comme pr´ ec´ edemment, on associe ` a toute fonction f sur E,
la fonction M p,n (f ) sur E donn´ ee par
M p,n (f )(x) = E(f (X n )|X p = x) =
y∈E
M p,n (x, y) f (y)
(1.1)
En particulier pour p = n, on a M n,n (f ) = f ; et pour p = (n − 1), nous
avons
M n−1,n (f )(x) = M n (f )(x) = E(f (X n )|X n−1 = x)
D’apr` es la formule de conditionnements emboˆ ıt´ es, nous avons la formule
de r´ ecurrence
M p,n (f )(x) = E(E(f (X n )|X n−1 )|X p = x)
= E(M n (f )(X n−1 )|X p = x) = M p,n−1 (M n (f ))(x)
Par cons´ equent, l’op´ erateur de transition M p,n est donn´ e par la formule
(1.1) avec
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η n (f ) = E(E(f (X n )|X n−1 ))
= E( M n (f )(X n−1 ) )
=
x∈E
η n−1 (x) M n (f )(x) = η n−1 (M n (f ))
Autrement dit, les lois η n des diff´ erents ´ etats de la chaˆ ıne de Markov
X n peuvent “se calculer” r´ ecursivement. Ces derni` eres sont solutions d’un
syst` eme dynamique discret ` a valeurs dans l’espace des probabilit´ es :
η n = η n−1 M n
La figure 1.1 repr´ esente une ´ evolution des lois des ´ etats al´ eatoires d’une chaˆ ıne
de Markov au cours du temps. Les trajectoires al´ eatoires sont d´ ecrites par les
lignes rouges. Dans cet exemple, la chaˆ ıne est attir´ ee entre les instants t 0 et t 1
vers le haut ou vers le bas. Dans un second temps, entre t 1 et t 2 elle commence
` a se r´ epartir sur tout l’espace autour de ces valeurs initiales. La premi` ere phase
peut s’interpr´ eter comme une ´ etape transitoire, la seconde comme un d´ ebut
de convergence `
a l’´ equilibre.
Notre prochain objectif est de d´ ecrire plus pr´ ecisement le semigroupe
d’´ evolution du flot de mesures (η n ) n . On introduit pour cela la probabilit´ e
conditionnelle de X n en X p
M p,n (x, y) = P
Xn|Xp (y|x) = P(X n = y | X p = x)
avec 0 ≤ p ≤ n, Comme pr´ ec´ edemment, on associe ` a toute fonction f sur E,
la fonction M p,n (f ) sur E donn´ ee par
M p,n (f )(x) = E(f (X n )|X p = x) =
y∈E
M p,n (x, y) f (y)
(1.1)
En particulier pour p = n, on a M n,n (f ) = f ; et pour p = (n − 1), nous
avons
M n−1,n (f )(x) = M n (f )(x) = E(f (X n )|X n−1 = x)
D’apr` es la formule de conditionnements emboˆ ıt´ es, nous avons la formule
de r´ ecurrence
M p,n (f )(x) = E(E(f (X n )|X n−1 )|X p = x)
= E(M n (f )(X n−1 )|X p = x) = M p,n−1 (M n (f ))(x)
Par cons´ equent, l’op´ erateur de transition M p,n est donn´ e par la formule
(1.1) avec