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1 C h a ˆ ınes de Markov discr` etes
1.2.1 Semigroupes de transition
Les probabilit´ es de transitions M n d’une chaˆ ıne de Markov sur un espace
E sont associ´ ees `
a deux op´ erateurs naturels :
1. Le premier agit ` a droite sur les fonctions born´ ees sur E. A chacune
de ces fonctions f , on associe la fonction born´ ee M n [f ] d´ efinie par la
formule suivante
M n [f ](x) = d´ ef. E(f (X n )|X n−1 = x) =
y∈E
M n (x, y) f (y)
2. Le second agit ` a gauche sur les mesures de probabilit´ es sur E. A chacune
de ces mesures η, on associe la mesure de probabilit´ e (ηM n ) d´ efinie par
(ηM n )(y) =
x∈E
η(x) M n (x, y) ∈ [0, 1]
Dans ce contexte, il est aussi tr` es utile de voir une mesure de probabilit´ e η
comme un op´ erateur sur l’ensemble des fonctions f born´ ees sur l’espace des
´ etats E
η[f ] =
x∈E
η(x) f (x) ∈ R
Avec ce syst` eme de notations, pour les fonctions indicatrices f = 1 B d’ensembles B ⊂ R, on retrouve la mesure η(B) des ensembles B
η[1 B ] =
x∈B
η(x) = η(B)
De mˆ eme, on observe que
M n [1 B ](x) = E(1 B (X n )|X n−1 = x) = M n (x, B) = P(X n ∈ B | X n−1 = x)
Lorsqu’il n’y a pas de confusions, il est coutume de noter η(f ), et M n (f )
plutˆ ot que η[f ], et M n [f ]. Dans ce syst` eme de notations, nous avons
E(f (X n )) =
x∈E
f (x) η n (x) = η n (f )
et
E(f (X n ) | X n−1 = x) =
y∈E
M n (x, y) f (y) = M n (f )(x)
En utilisant la formule des conditionnements emboˆ ıt´ es on montre que