1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
5
Autrement dit, les probabilit´ es de passage (ou de transition) d’un ´ etat
X n−1 = x ` a un nouvel ´ etat al´ eatoire X n sont donn´ ees par l’application
suivante
y ∈ E → M n (x, y) = P(X n = y | X n−1 = x) ∈ [0, 1]
On utilise parfois la notation
P
Xn|Xn−1 (y|x) = P(X n = y | X n−1 = x)
On d´ esigne par la suite η n = P
Xn , la loi de l’´ etat X n de la chaˆ ıne, `
a chacun
des instants n ∈ N.
On remarquera que la loi de la trajectoire (X 0 , . . . , X n ) de l’origine jusqu’` a
l’instant n est alors d´ ecrite par la formule multiplicative
P
(X0,X1,...,Xn) (x 0 , x 1 , . . . , x n ) = P(X 0 = x 0 , X 1 = x 1 , . . . , X n = x n )
= η 0 (x 0 )M 1 (x 0 , x 1 ) . . . M n (x n−1 , x n )
pour toute trajectoire (x p ) 0≤p≤n ∈ E
n+1 .
On peut clairement ´ etendre la notion de chaˆ ıne de Markov pr´ ec´ edente `
a des
mod` eles markoviens X n prenant leurs valeurs dans des espaces E n li´ es au param` etre temporel ! Dans ce contexte, M n+1 (x n , x n+1 ) d´ esigne la probabilit´ e
de passer d’un ´ etat x n ∈ E n vers un ´ etat x n+1 ∈ E n+1 . Plus formellement,
nous avons `
a nouveau
M n+1 (x n , x n+1 ) = P(X n+1 = x n+1 | X n = x n )
et
P
(X0,X1,...,Xn) (x 0 , x 1 , . . . , x n ) = P(X 0 = x 0 , X 1 = x 1 , . . . , X n = x n )
= η 0 (x 0 )M 1 (x 0 , x 1 ) . . . M n (x n−1 , x n )
Bien que cette extension puisse paraˆ ıtre purement formelle, sans d’autres
int´ erˆ ets que math´ ematiques, cette notion apparaˆ ıt naturellement dans la
repr´ esentation de chaˆ ınes sur des espaces de chemins, tels les processus historiques d´ ecrits dans la section 1.2.2.
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Autrement dit, les probabilit´ es de passage (ou de transition) d’un ´ etat
X n−1 = x ` a un nouvel ´ etat al´ eatoire X n sont donn´ ees par l’application
suivante
y ∈ E → M n (x, y) = P(X n = y | X n−1 = x) ∈ [0, 1]
On utilise parfois la notation
P
Xn|Xn−1 (y|x) = P(X n = y | X n−1 = x)
On d´ esigne par la suite η n = P
Xn , la loi de l’´ etat X n de la chaˆ ıne, `
a chacun
des instants n ∈ N.
On remarquera que la loi de la trajectoire (X 0 , . . . , X n ) de l’origine jusqu’` a
l’instant n est alors d´ ecrite par la formule multiplicative
P
(X0,X1,...,Xn) (x 0 , x 1 , . . . , x n ) = P(X 0 = x 0 , X 1 = x 1 , . . . , X n = x n )
= η 0 (x 0 )M 1 (x 0 , x 1 ) . . . M n (x n−1 , x n )
pour toute trajectoire (x p ) 0≤p≤n ∈ E
n+1 .
On peut clairement ´ etendre la notion de chaˆ ıne de Markov pr´ ec´ edente `
a des
mod` eles markoviens X n prenant leurs valeurs dans des espaces E n li´ es au param` etre temporel ! Dans ce contexte, M n+1 (x n , x n+1 ) d´ esigne la probabilit´ e
de passer d’un ´ etat x n ∈ E n vers un ´ etat x n+1 ∈ E n+1 . Plus formellement,
nous avons `
a nouveau
M n+1 (x n , x n+1 ) = P(X n+1 = x n+1 | X n = x n )
et
P
(X0,X1,...,Xn) (x 0 , x 1 , . . . , x n ) = P(X 0 = x 0 , X 1 = x 1 , . . . , X n = x n )
= η 0 (x 0 )M 1 (x 0 , x 1 ) . . . M n (x n−1 , x n )
Bien que cette extension puisse paraˆ ıtre purement formelle, sans d’autres
int´ erˆ ets que math´ ematiques, cette notion apparaˆ ıt naturellement dans la
repr´ esentation de chaˆ ınes sur des espaces de chemins, tels les processus historiques d´ ecrits dans la section 1.2.2.