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1 C h a ˆ ınes de Markov discr` etes
ind´ ependantes ; c’est le cas des s´ equences de lancers de d´ es, ou les successions
de jets de pi` eces de monnaies.
Dans d’autres situations, le processus al´ eatoire est donn´ e par une ´ equation
physique r´ ecursive de la forme suivante
X n = F n (X n−1 , U n )
La v.a. X 0 d´ esigne la condition initiale du syst` eme, F n des fonctions de
d´ erive d´ eterministes, et enfin U n des variables al´ eatoires “ind´ ependantes”
des pr´ ec´ edents ´ etats X 0 , . . . , X n−1 . De telles s´ equences sont appel´ ees des
chaˆ ınes de Markov.
En traitement du signal, de tels syst` emes peuvent repr´ esenter l’´ evolution
temporelle d’une cible dans l’espace. Dans ce contexte, les variables al´ eatoires
U n ont une double dimension. Elles correspondent `
a la fois, aux erreurs de
mod´ elisation, ainsi qu’aux strat´ egies inconnues de guidage.
En math´ ematiques financi` eres, l’´ evolution des prix d’actifs dans des march´ es
boursiers sont aussi mod´ elis´ es par des chaˆ ınes de Markov. Dans ce contexte,
les variables U n repr´ esentent les fluctuations, et la volatilit´ e stochastique du
march´ e financier.
Nous reviendrons sur des exemples plus pr´ ecis dans la suite.
1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
Les chaˆ ınes de Markov les plus ´ el´ ementaires sont bien entendu celles dont
les ´ etats al´ eatoires ne prennent qu’un nombre fini, ou au plus d´ enombrable de
valeurs. Cette section est consacr´ ee `
a l’´ etude de ces chaˆ ınes ´ el´ ementaires. Nous
insisterons sur les r´ ealisations “canoniques”, et dynamiques, de ces processus
al´ eatoires. La seconde partie de cette section concerne l’´ etude des semigroupes
d’´ evolution de ces chaˆ ınes de Markov.
Afin de satisfaire la curiosit´ e du lecteur, et souligner les points d’interaction
avec d’autres domaines scientifiques, nous soulignerons les interactions entre
la th´ eorie des chaˆ ınes de Markov, l’analyse fonctionnelle, l’alg` ebre matricielle,
et la th´ eorie des graphes. Enfin, nous illustrerons ces nouvelles notions sur une
vari´ et´ e d’exemples pr´ ecis li´ es `
a des ph´ enom` enes al´ eatoires issus de la physique,
de la biologie, et des sciences de l’ing´ enieur.
Dans la suite de cette section, X n d´ esigne une chaˆ ıne de Markov discr` ete `
a
valeurs dans un espace E, au plus d´ enombrable. Ses transitions de probabilit´ es
seront donn´ ees par une collection (M n (x, .)) x∈E de mesures de probabilit´ es
sur E.
1 C h a ˆ ınes de Markov discr` etes
ind´ ependantes ; c’est le cas des s´ equences de lancers de d´ es, ou les successions
de jets de pi` eces de monnaies.
Dans d’autres situations, le processus al´ eatoire est donn´ e par une ´ equation
physique r´ ecursive de la forme suivante
X n = F n (X n−1 , U n )
La v.a. X 0 d´ esigne la condition initiale du syst` eme, F n des fonctions de
d´ erive d´ eterministes, et enfin U n des variables al´ eatoires “ind´ ependantes”
des pr´ ec´ edents ´ etats X 0 , . . . , X n−1 . De telles s´ equences sont appel´ ees des
chaˆ ınes de Markov.
En traitement du signal, de tels syst` emes peuvent repr´ esenter l’´ evolution
temporelle d’une cible dans l’espace. Dans ce contexte, les variables al´ eatoires
U n ont une double dimension. Elles correspondent `
a la fois, aux erreurs de
mod´ elisation, ainsi qu’aux strat´ egies inconnues de guidage.
En math´ ematiques financi` eres, l’´ evolution des prix d’actifs dans des march´ es
boursiers sont aussi mod´ elis´ es par des chaˆ ınes de Markov. Dans ce contexte,
les variables U n repr´ esentent les fluctuations, et la volatilit´ e stochastique du
march´ e financier.
Nous reviendrons sur des exemples plus pr´ ecis dans la suite.
1.2 Chaˆ ınes de Markov discr` etes
Les chaˆ ınes de Markov les plus ´ el´ ementaires sont bien entendu celles dont
les ´ etats al´ eatoires ne prennent qu’un nombre fini, ou au plus d´ enombrable de
valeurs. Cette section est consacr´ ee `
a l’´ etude de ces chaˆ ınes ´ el´ ementaires. Nous
insisterons sur les r´ ealisations “canoniques”, et dynamiques, de ces processus
al´ eatoires. La seconde partie de cette section concerne l’´ etude des semigroupes
d’´ evolution de ces chaˆ ınes de Markov.
Afin de satisfaire la curiosit´ e du lecteur, et souligner les points d’interaction
avec d’autres domaines scientifiques, nous soulignerons les interactions entre
la th´ eorie des chaˆ ınes de Markov, l’analyse fonctionnelle, l’alg` ebre matricielle,
et la th´ eorie des graphes. Enfin, nous illustrerons ces nouvelles notions sur une
vari´ et´ e d’exemples pr´ ecis li´ es `
a des ph´ enom` enes al´ eatoires issus de la physique,
de la biologie, et des sciences de l’ing´ enieur.
Dans la suite de cette section, X n d´ esigne une chaˆ ıne de Markov discr` ete `
a
valeurs dans un espace E, au plus d´ enombrable. Ses transitions de probabilit´ es
seront donn´ ees par une collection (M n (x, .)) x∈E de mesures de probabilit´ es
sur E.