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Chaˆ ınes de Markov discr` etes
1.1 Introduction
Un processus al´ eatoire est un ph´ enom` ene dont une partie de l’´ evolution
temporelle est al´ eatoire. On rencontre ces processus dans divers domaines
de la physique, ou des sciences de l’ing´ enieur. Par exemple la r´ epartition et
l’´ evolution de la chaleur dans un corps, la turbulence atmosph´ erique ; c’est
aussi le cas des temps d’arriv´ ee d’appels t´ el´ ephoniques, les erreurs de mesures
dues aux perturbations thermiques dans des capteurs ´ electroniques de type
radar ou sonar, ou encore l’´ evolution des cours de march´ es boursiers.
La th´ eorie des processus al´ eatoires est une th´ eorie math´ ematique tr` es riche,
offrant de nombreuses interactions avec diverses branches des math´ ematiques,
telles la th´ eorie des graphes, l’analyse fonctionnelle, la th´ eorie des op´ erateurs,
ainsi que la th´ eorie ergodique des syst` emes dynamiques.
Formellement, un processus al´ eatoire est une succession de variables
al´ eatoires (X n ) n≥0
X 0 −→ X 1 −→ . . . −→ X n −→ X n+1 −→ . . .
L’indice n ∈ N repr´ esente le param` etre temporel. Les variables X n peuvent
ˆ etre `
a valeurs dans un espace discret E, dans des espaces euclidiens E = R
d ,
ou dans des espaces plus complexes tels des espaces de chemins ou d’excursions.
Ces mod` eles trajectoriels sont utiles en biologie dans l’analyse d’´ evolutions
ancestrales de population. On rencontre aussi des processus ` a valeurs dans des
espaces de matrices en physique statistique, ou en analyse d’images. L’´ etude
de tels mod` eles sort bien entendu du cadre de cet ouvrage.
Les ´ etats X n peuvent ´ evoluer al´ eatoirement au cours du temps selon des
m´ ecanismes plus ou moins complexes. Dans certains cas, les ´ epreuves X n sont
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_1,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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Chaˆ ınes de Markov discr` etes
1.1 Introduction
Un processus al´ eatoire est un ph´ enom` ene dont une partie de l’´ evolution
temporelle est al´ eatoire. On rencontre ces processus dans divers domaines
de la physique, ou des sciences de l’ing´ enieur. Par exemple la r´ epartition et
l’´ evolution de la chaleur dans un corps, la turbulence atmosph´ erique ; c’est
aussi le cas des temps d’arriv´ ee d’appels t´ el´ ephoniques, les erreurs de mesures
dues aux perturbations thermiques dans des capteurs ´ electroniques de type
radar ou sonar, ou encore l’´ evolution des cours de march´ es boursiers.
La th´ eorie des processus al´ eatoires est une th´ eorie math´ ematique tr` es riche,
offrant de nombreuses interactions avec diverses branches des math´ ematiques,
telles la th´ eorie des graphes, l’analyse fonctionnelle, la th´ eorie des op´ erateurs,
ainsi que la th´ eorie ergodique des syst` emes dynamiques.
Formellement, un processus al´ eatoire est une succession de variables
al´ eatoires (X n ) n≥0
X 0 −→ X 1 −→ . . . −→ X n −→ X n+1 −→ . . .
L’indice n ∈ N repr´ esente le param` etre temporel. Les variables X n peuvent
ˆ etre `
a valeurs dans un espace discret E, dans des espaces euclidiens E = R
d ,
ou dans des espaces plus complexes tels des espaces de chemins ou d’excursions.
Ces mod` eles trajectoriels sont utiles en biologie dans l’analyse d’´ evolutions
ancestrales de population. On rencontre aussi des processus ` a valeurs dans des
espaces de matrices en physique statistique, ou en analyse d’images. L’´ etude
de tels mod` eles sort bien entendu du cadre de cet ouvrage.
Les ´ etats X n peuvent ´ evoluer al´ eatoirement au cours du temps selon des
m´ ecanismes plus ou moins complexes. Dans certains cas, les ´ epreuves X n sont
P. Del Moral and C. Vergé, Modèles et méthodes stochastiques,
Mathématiques et Applications 75, DOI: 10.1007/978-3-642-54616-7_1,
Ó Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2014
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