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9 M´ ethodes MCMC en interaction
d (μ n × K) 1
d (μ n × K) 0
((ξ, θ), (ξ
, θ
)) =
⎧
⎨
⎩
0≤p
, θ
)
h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
d(μ × L) 1
d(μ × L) 0
(θ, θ
)
Une transition de M´ etropolis-Hastings K n ((ξ, θ), d(ξ
, θ
)) de loi cible μ n
est alors d´ efinie en simulant des propositions de variation de param` etres selon
la transition K ((ξ, θ), d(ξ
, θ
)), avec un taux d’acceptation
h n ((ξ, θ), (ξ
, θ
)) := 1 ∧
d (μ n × K) 1
d (μ n × K) 0
((ξθ), (ξ
θ
))
= 1 ∧
⎡
⎣
⎧
⎨
⎩
0≤p
, θ
)
h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
d(μ × L) 1
d(μ × L) 0
(θ, θ
)
⎤
⎦
Dans le cas o` u les propositions L sont μ-r´ eversibles, ce taux d’acceptation se
r´ eduit ` a la forme suivante
h n ((ξ, θ), (ξ
, θ
)) = 1 ∧
⎧
⎨
⎩
0≤p
, θ
)
h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
L’algorithme de MCMC associ´ e ` a cette transition de Metropolis-Hastings
de loi cible μ n a ´ et´ e introduit r´ ecemment par C. Andrieu, A. Doucet, et R.
Holenstein dans [3].
Comme pour les algorithmes de type recuit simul´ e, il est aussi envisageable de commencer la simulation de μ n avec un algorithme de
Metropolis-Hastings associ´ e ` a la transition K 1 . Au bout d’un certain nombre
d’it´ erations, les ´ etats de la chaˆ ıne sont approximativement distribu´ es selon
la loi cible μ 1
eratures,on change
alors la mesure cible μ 1 μ 2 , en simulant des transitions selon K 2 pendant
un horizon temporel assez long. Au bout d’un certain nombre d’it´ erations,
les ´ etats de la chaˆ ıne sont d´ esormais approximativement distribu´ es selon
la loi cible μ 2 . On change alors la mesure cible μ 2 μ 3 , en simulant des
transitions selon K 3 pendant un horizon temporel assez long. On it` ere cette
strat´ egie jusqu’` a l’obtention de la loi μ n .
Comme pr´ ec´ edemment, ces techniques de simulation MCMC peuvent ˆ etre
mises en interaction en utilisant la m´ ethodologie particulaire d´ ecrite dans la
section 9. Plus pr´ ecis´ ement, en utilisant le fait que la transition K n laisse
invariante la mesure μ n = μ n K n , on remarque que les mesures μ n d´ ecrites en
(9.11) satisfont les ´ equations suivantes
μ n+1 = Ψ hn (μ n ) ⇒ μ n+1 = Ψ hn (μ n )K n+1
.Par analogie avec les changements d e temp´
9 M´ ethodes MCMC en interaction
d (μ n × K) 1
d (μ n × K) 0
((ξ, θ), (ξ
, θ
)) =
⎧
⎨
⎩
0≤p
, θ
)
h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
d(μ × L) 1
d(μ × L) 0
(θ, θ
)
Une transition de M´ etropolis-Hastings K n ((ξ, θ), d(ξ
, θ
)) de loi cible μ n
est alors d´ efinie en simulant des propositions de variation de param` etres selon
la transition K ((ξ, θ), d(ξ
, θ
)), avec un taux d’acceptation
h n ((ξ, θ), (ξ
, θ
)) := 1 ∧
d (μ n × K) 1
d (μ n × K) 0
((ξθ), (ξ
θ
))
= 1 ∧
⎡
⎣
⎧
⎨
⎩
0≤p
, θ
)
h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
d(μ × L) 1
d(μ × L) 0
(θ, θ
)
⎤
⎦
Dans le cas o` u les propositions L sont μ-r´ eversibles, ce taux d’acceptation se
r´ eduit ` a la forme suivante
h n ((ξ, θ), (ξ
, θ
)) = 1 ∧
⎧
⎨
⎩
0≤p
, θ
)
h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
L’algorithme de MCMC associ´ e ` a cette transition de Metropolis-Hastings
de loi cible μ n a ´ et´ e introduit r´ ecemment par C. Andrieu, A. Doucet, et R.
Holenstein dans [3].
Comme pour les algorithmes de type recuit simul´ e, il est aussi envisageable de commencer la simulation de μ n avec un algorithme de
Metropolis-Hastings associ´ e ` a la transition K 1 . Au bout d’un certain nombre
d’it´ erations, les ´ etats de la chaˆ ıne sont approximativement distribu´ es selon
la loi cible μ 1
eratures,on change
alors la mesure cible μ 1 μ 2 , en simulant des transitions selon K 2 pendant
un horizon temporel assez long. Au bout d’un certain nombre d’it´ erations,
les ´ etats de la chaˆ ıne sont d´ esormais approximativement distribu´ es selon
la loi cible μ 2 . On change alors la mesure cible μ 2 μ 3 , en simulant des
transitions selon K 3 pendant un horizon temporel assez long. On it` ere cette
strat´ egie jusqu’` a l’obtention de la loi μ n .
Comme pr´ ec´ edemment, ces techniques de simulation MCMC peuvent ˆ etre
mises en interaction en utilisant la m´ ethodologie particulaire d´ ecrite dans la
section 9. Plus pr´ ecis´ ement, en utilisant le fait que la transition K n laisse
invariante la mesure μ n = μ n K n , on remarque que les mesures μ n d´ ecrites en
(9.11) satisfont les ´ equations suivantes
μ n+1 = Ψ hn (μ n ) ⇒ μ n+1 = Ψ hn (μ n )K n+1
.Par analogie avec les changements d e temp´