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9 M´ ethodes MCMC en interaction
ce probl` eme, notons P (θ, dξ) la loi conditionnelle d’un syst` eme form´ e de N
individus
ξ := (ξ θ,0 , ξ θ,1 , . . . , ξ θ,T )
sur un horizon temporel [0, T ], ´ evoluant selon des m´ ecanismes de mutation
selon les transitions M
(θ)
n , et de s´ election selon les fonctions potentiels G
(θ)
n ,
avec n ≤ T . Autrement dit, ξ θ,n =
ξ
i
θ,n
1≤i≤N
n’est autre que l’´ etat de
l’algorithme particulaire
ξ θ,n ∈ E
N
n
selection
− − − − − − − −→
ξ θ,n :=
ξ
i
θ,n
∈ E
N
n
mutation
− − − − − − −→ ξ θ,n+1 ∈ E
N
n+1
apr` es la n-i` eme ´ etape de mutation, utilis´ e pour estimer de fa¸ con s´ equentielle
les lois η
(θ)
n associ´ ees au param` etre θ.
On consid` ere les mesures de Boltzmann-Gibbs ´ etendues, d´ efinies pour
chaque 0 ≤ n ≤ T , par la formule suivante
μ n (d(ξ, θ)) =
1
Z n
⎧
⎨
⎩
0≤p h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
μ(d(ξ, θ))
(9.11)
La quantit´ e Z n d´ esigne une constante de normalisation, et les param` etres
h n , μ
sont donn´ es par
h n (ξ, θ) =
1
N
1≤i≤N
G
(θ)
n (ξ
i
θ,n )
μ(d(ξ, θ)) = μ(dθ) P (θ, dξ)
A la diff´ erence des mesures μ n , les densit´ es h n de ce mod` ele sont calculables
point par point. On peut donc appliquer les techniques de simulation MCMC
d´ ecrites dans la section 9.4.2.
Plus surprenant, en utilisant les propri´ et´ es d’estimation non biais´ ee des
mesures de Feynman-Kac non normalis´ ees ´ etudi´ ees dans la section 8.4.1, nous
avons
P (θ, dξ)
⎧
⎨
⎩
0≤p h p (ξ, θ)
⎫
⎬
⎭
= E
⎛
⎝
0≤p η
(θ),N
p
G
(θ)
p
⎞
⎠
=
0≤p η
(θ)
p (G
(θ)
p )