9.4 Int´ egration de mod` eles de Feynman-Kac
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Dans la section 3.6, nous avons vu que les solutions de ces flots de mesures
sont donn´ ees par les mesures de Feynman-Kac d´ efinies pour toute fonction
mesurable f sur S par la formule
μ n (f ) =
E
f (Θ n )
0≤p E
0≤p o` u Θ n d´ esigne une chaˆ ıne de Markov sur S, de loi initiale μ 0 = μ et de
transitions locales
P (Θ n ∈ dθ n | Θ n−1 = θ n−1 ) = K n (θ n−1 , dθ n )
Les approximations particulaires de ces mod` eles sont d´ ecrites dans la section 9.2. Dans ce contexte, les lois μ n sont approch´ ees de fa¸ con s´ equentielles
par les mesures d’occupation
μ
N
n =
1
N
1≤i≤N
δ Θ i
n
d’une dynamique de population g´ en´ etique
Θ
i
n
1≤i≤N
∈ S
N
selection
− − − − − − − −→
Θ
i
n
1≤i≤N
∈ S
N
mutation
− − − − − − −→
Θ
i
n+1
1≤i≤N
Les mutations sont donn´ ees par les transitions K n , les s´ elections par les fonctions potentiel h n .
Les mesures Q
(μ)
n
sont alors estim´ ees par les formules d’approximation
suivantes :
Q
(μ),N
n
(d(θ, (x 0 , . . . , x n ))) := μ
N
n (dθ) × Q
(θ),N
n
(d(x 0 , . . . , x n ))
μ n (dθ) × Q
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
= Q
(μ)
n (d(θ, (x 0 , . . . , x n )))
Le terme de droite Q
(θ),N
n
repr´ esente les mesures particulaires ` a rebours
d´ ecrites dans la section 8.3.3. On pourra remplacer ces lois par les mesures
d’occupation des mod` eles d’arbres g´ en´ ealogiques d´ ecrits dans la section 8.3.2.
Pour des mod` eles lin´ eaires et gaussiens, les formules ` a rebours (8.18) s’expriment comme un produit ` a rebours de transitions gaussiennes connues. Ces
mod` eles sont ´ etudi´ es dans la section 12.1.5.
9.4.3 Interpr´ etations particulaires
En g´ en´ eral les fonctions h n sont inconnues et les techniques d’approximation d´ ecrites dans la section 9.4.2 ne sont plus effectives. Pour r´ esoudre