9.4 Int´ egration de mod` eles de Feynman-Kac
279
Par construction, nous avons la formule de d´ esint´ egration de mesures
Q
(μ)
n (d(θ, (x 0 , . . . , x n ))) = μ n (dθ) Q
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
avec les distributions de probabilit´ es μ n sur S donn´ ees par
μ n (dθ) :=
1
Z
(μ)
n
Z n (θ) μ(dθ) =
1
Z
(μ)
n
n−1
p=0
h p (θ)
μ(dθ)
(9.10)
o` u Z
(μ)
n = Γ
(μ)
n (1) d´ esigne une constante de normalisation.
La d´ emonstration simple de ce r´ esultat est laiss´ ee en exercice.
9.4.2 M´ ethodes d’approximation
Les algorithmes d’estimation des lois μ n d´ ecrites en (9.10) par des mesures
empiriques d´ ependent de la r´ egularit´ e du mod` ele de Feynman-Kac.
Commen¸ cons par des mod` eles o` u les fonctions h n sont connues et calculables point par point.
Par exemple, dans le cadre de mod` eles de filtrage lin´ eaires et gaussiens,
ces fonctions sont donn´ ees par une simple int´ egration de la fonction de vraisemblance gaussienne G
(θ)
n par le pr´ edicteur optimal gaussien de Kalman η
(θ)
n
h p (θ) =
G
(θ)
n (x) η
(θ)
n (dx)
Dans le cadre de mod` eles sur des espaces finis de cardinal raisonnable, les
int´ egrales `
a calculer se r´ esument ` a de simples sommes sur des espaces finis.
Les mesures de Feynman-Kac sont ainsi calculables en r´ esolvant les ´ equations
r´ ecursives d´ ecrites dans la section 3.6.
Lorsque les fonctions h n sont connues point par point, les mesures μ n
ont une densit´ e connue et peuvent ˆ etre simul´ ees par l’une des techniques
de MCMC d´ ecrites dans le chapitre 6. Par exemple, on pourra utiliser les
transitions de Metropolis-Hastings d´ evelopp´ ees dans la section 6.4. Pour ˆ etre
plus pr´ ecis, on choisira une transition de probabilit´ e K(θ, dθ
) sur l’espace S
telle que les lois
(μ × K) 0 (d(θ, θ
𨐿 )) := μ(dθ)K(θ, dθ
𨐿 )
et
(μ × K) 1 (d(θ, θ
)) := μ(dθ
)K(θ
, dθ)
soient absolument continues. Une transition de Metropolis-Hastings K n (θ, dθ
)
de loi cible μ n est alors d´ efinie en simulation des propositions de variation de
param` etres selon la transition K(θ, dθ
), avec un taux d’acceptation
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Par construction, nous avons la formule de d´ esint´ egration de mesures
Q
(μ)
n (d(θ, (x 0 , . . . , x n ))) = μ n (dθ) Q
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
avec les distributions de probabilit´ es μ n sur S donn´ ees par
μ n (dθ) :=
1
Z
(μ)
n
Z n (θ) μ(dθ) =
1
Z
(μ)
n
n−1
p=0
h p (θ)
μ(dθ)
(9.10)
o` u Z
(μ)
n = Γ
(μ)
n (1) d´ esigne une constante de normalisation.
La d´ emonstration simple de ce r´ esultat est laiss´ ee en exercice.
9.4.2 M´ ethodes d’approximation
Les algorithmes d’estimation des lois μ n d´ ecrites en (9.10) par des mesures
empiriques d´ ependent de la r´ egularit´ e du mod` ele de Feynman-Kac.
Commen¸ cons par des mod` eles o` u les fonctions h n sont connues et calculables point par point.
Par exemple, dans le cadre de mod` eles de filtrage lin´ eaires et gaussiens,
ces fonctions sont donn´ ees par une simple int´ egration de la fonction de vraisemblance gaussienne G
(θ)
n par le pr´ edicteur optimal gaussien de Kalman η
(θ)
n
h p (θ) =
G
(θ)
n (x) η
(θ)
n (dx)
Dans le cadre de mod` eles sur des espaces finis de cardinal raisonnable, les
int´ egrales `
a calculer se r´ esument ` a de simples sommes sur des espaces finis.
Les mesures de Feynman-Kac sont ainsi calculables en r´ esolvant les ´ equations
r´ ecursives d´ ecrites dans la section 3.6.
Lorsque les fonctions h n sont connues point par point, les mesures μ n
ont une densit´ e connue et peuvent ˆ etre simul´ ees par l’une des techniques
de MCMC d´ ecrites dans le chapitre 6. Par exemple, on pourra utiliser les
transitions de Metropolis-Hastings d´ evelopp´ ees dans la section 6.4. Pour ˆ etre
plus pr´ ecis, on choisira une transition de probabilit´ e K(θ, dθ
) sur l’espace S
telle que les lois
(μ × K) 0 (d(θ, θ
𨐿 )) := μ(dθ)K(θ, dθ
𨐿 )
et
(μ × K) 1 (d(θ, θ
)) := μ(dθ
)K(θ
, dθ)
soient absolument continues. Une transition de Metropolis-Hastings K n (θ, dθ
)
de loi cible μ n est alors d´ efinie en simulation des propositions de variation de
param` etres selon la transition K(θ, dθ
), avec un taux d’acceptation