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9 M´ ethodes MCMC en interaction
9.4 Int´ egration de mod` eles de Feynman-Kac
9.4.1 Familles param´ etriques de mesures
Reprenons les mod` eles de Feynman-Kac param´ etriques introduits dans la
section 8.4.3.
On note par la suite Γ
(θ)
n
la famille de mesures de Feynman-Kac d´ efinies
par la formule suivante
Γ
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n )) =
n−1
p=0
G
(θ)
p (x p )
P
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
avec
P
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n )) = η
(θ)
0 (dx 0 )M
(θ)
1 (x 0 , dx 1 ) . . . M
(θ)
n (x n−1 , dx n )
Les mesures normalis´ ees sont d´ efinies par les mesures de probabilit´ es
Q
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n )) =
1
Γ
(θ)
n (1)
Γ
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
=
1
Z n (θ)
n−1
p=0
G
(θ)
p (x p )
P
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
En utilisant (8.26), les constantes de normalisation Z n (θ) sont donn´ ees par
les formules multiplicatives suivantes.
Z n (θ) = Γ
(θ)
n (1) =
n−1
p=0
h p (θ) avec h p (θ) := η
(θ)
p (G
(θ)
p )
o` u η
(θ)
p d´ esigne la p-i` eme marginale de la loi Q
(θ)
n , avec p ≤ n.
Il est essentiel de souligner que les mesures
Γ
(θ)
n , Q
(θ)
n
, et a fortiori leurs
n-ı‘eme marginales
γ
(θ)
n , η
(θ)
n
peuvent ˆ etre calcul´ ees pour chaque valeur θ ∈
S, en utilisant les m´ ethodes particulaires d´ ecrites dans les sections pr´ ec´ edentes.
Notre prochain objectif est d’estimer les mesures de Feynman-Kac Γ
(μ)
n
et
Q
(μ)
n sur (S × E n ) d´ efinies par les ´ equations suivantes
Γ
(μ)
n (d(θ, (x 0 , . . . , x n ))) = μ(dθ) Γ
(θ)
n (d(x 0 , . . . , x n ))
et
Q
(μ)
n (d(θ, (x 0 , . . . , x n ))) =
1
Γ
(μ)
n (1)
Γ
(μ)
n (d(θ, (x 0 , . . . , x n )))