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9 M´ ethodes MCMC en interaction
Lorsque la mesure de r´ ef´ erence μ est r´ eversible par rapport ` a une transition
M (x, dy), on peut choisir la transition de Metropolis-Hastings donn´ ee par
M n (x, dy) = M (x, dy) G n (y) + (1 − M (G n )(x)) δ x (dy)
(9.7)
Simuler une variable de loi M n (x, dy) partant d’un ´ etat x revient ` a proposer
tout d’abord une transition x y de loi M (x, dy). On accepte ensuite cette
transition avec une probabilit´ e G n (y). Dans le cas contraire, on reste au point
de d´ epart x. On v´ erifie que η n est invariante par l’action de M n , en remarquant
que pour toute fonction test born´ ee f , nous avons
μ(G n M n (f )) = μ(G n M (fG n )) + μ(G n [1 − M (G n )]f )
= μ(M n (G n )(fG n )) + μ(G n f ) − μ(G n M (G n )f ) = μ(G n f )
En normalisant ces mesures, on obtient le r´ esultat recherch´ e
η n M n (f ) =
μ(G n M n (f ))
μ(G n )
=
μ(G n f )
μ(G n )
= η n (f )
Il reste alors ` a utiliser la propri´ et´ e multiplicative (9.6) pour s’assurer que le
flot de mesures η n satisfait l’´ equation suivante
η n = η n M n = Ψ gn−1 (η n−1 )M n
(9.8)
En reprenant la d´ emarche utilis´ ee dans la section 9.3.1, on peut montrer le
r´ esultat suivant.
La solution de l’´ equation (9.8) est ` a nouveau donn´ ee par la mesure de
Feynman-Kac d´ efinie pour toute fonction test born´ ee f par la formule suivante
η n (f ) = γ n (f )/γ n (1)
(9.9)
avec
γ n (f ) = E
f (X n )
n−1
p=0
g p (X p )
Ces mod` eles de Feynman-Kac sont analogues ` a ceux introduits par C. Jarzynski dans [95]. Voir aussi les articles [40, 44, 135].
Nous terminons cette section avec un exemple de transition r´ eversible sur
des espaces de trajectoires. On note X
n une chaˆ ıne de Markov sur R, et l’on
suppose que les trajectoires X = (X
0 , . . . , X
T ) de longueur T fix´ ee ont une
densit´ e de probabilit´ e, que l’on notera p, par rapport ` a la mesure de Lebesgue
9 M´ ethodes MCMC en interaction
Lorsque la mesure de r´ ef´ erence μ est r´ eversible par rapport ` a une transition
M (x, dy), on peut choisir la transition de Metropolis-Hastings donn´ ee par
M n (x, dy) = M (x, dy) G n (y) + (1 − M (G n )(x)) δ x (dy)
(9.7)
Simuler une variable de loi M n (x, dy) partant d’un ´ etat x revient ` a proposer
tout d’abord une transition x y de loi M (x, dy). On accepte ensuite cette
transition avec une probabilit´ e G n (y). Dans le cas contraire, on reste au point
de d´ epart x. On v´ erifie que η n est invariante par l’action de M n , en remarquant
que pour toute fonction test born´ ee f , nous avons
μ(G n M n (f )) = μ(G n M (fG n )) + μ(G n [1 − M (G n )]f )
= μ(M n (G n )(fG n )) + μ(G n f ) − μ(G n M (G n )f ) = μ(G n f )
En normalisant ces mesures, on obtient le r´ esultat recherch´ e
η n M n (f ) =
μ(G n M n (f ))
μ(G n )
=
μ(G n f )
μ(G n )
= η n (f )
Il reste alors ` a utiliser la propri´ et´ e multiplicative (9.6) pour s’assurer que le
flot de mesures η n satisfait l’´ equation suivante
η n = η n M n = Ψ gn−1 (η n−1 )M n
(9.8)
En reprenant la d´ emarche utilis´ ee dans la section 9.3.1, on peut montrer le
r´ esultat suivant.
La solution de l’´ equation (9.8) est ` a nouveau donn´ ee par la mesure de
Feynman-Kac d´ efinie pour toute fonction test born´ ee f par la formule suivante
η n (f ) = γ n (f )/γ n (1)
(9.9)
avec
γ n (f ) = E
f (X n )
n−1
p=0
g p (X p )
Ces mod` eles de Feynman-Kac sont analogues ` a ceux introduits par C. Jarzynski dans [95]. Voir aussi les articles [40, 44, 135].
Nous terminons cette section avec un exemple de transition r´ eversible sur
des espaces de trajectoires. On note X
n une chaˆ ıne de Markov sur R, et l’on
suppose que les trajectoires X = (X
0 , . . . , X
T ) de longueur T fix´ ee ont une
densit´ e de probabilit´ e, que l’on notera p, par rapport ` a la mesure de Lebesgue