9.3 Mesures de Boltzmann-Gibbs
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– Pour des fonctions exponentielles
G = e
−βU
associ´ ees ` a une fonction ´ energie U , et `
a un param` etre de temp´ erature
inverse β, on peut choisir
g 0 = e
−(β1−β0) U , g 1 = e
−(β2−β1) U , . . . , g n−1 = e
−(βn−βn−1) U
o` u (β k ) k≥0 d´ esigne un sch´ ema de temp´ erature inverse sur une dur´ ee
quelconque n, d’origine β 0 = 0, et terminant en la temp´ erature d´ esir´ ee
β
−1
n = β
−1 .
– Pour des fonctions indicatrices d’ensembles
G n = 1 A
on peut choisir des fonctions indicatrices
g 0 = 1 A1 , g 1 = 1 A2 , , . . . , g n−1 = 1 An
o` u (A k ) k≥0 d´ esigne une suite d’ensembles emboˆ ıt´ es de longueur quelconque
A 0 ⊃ A 1 ⊃ . . . ⊃ A n avec A n = A
Par construction, les fonctions potentiel
G n = e
−βnU
et G n = 1 An
associ´ ees aux temp´ eratures inverses β n , ou aux ensembles A n v´ erifient la formule multiplicative
G n−1 × g n−1 = G n
(9.6)
On note par la suite η n la mesure de Boltzmann-Gibbs
η n (dx) =
1
γ n (1)
γ n (dx)
avec
γ n (dx) = G n (x) μ(dx) et γ n (1) := μ(G n ) =
G n (x) μ(dx)
On consid` ere des transitions markoviennes M n (x, dy) de mesure invariante
η n , autrement dit
η n = η n M n