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9 M´ ethodes MCMC en interaction
η k (f ) =
γ k−1 (g k−1 M a k (f ))
γ k−1 (g k−1 )
=
η k−1 (g k−1 M a k (f ))
η k−1 (g k−1 )
= Ψ g k−1 (η k−1 )M a k (f )
Pour conclure cette discussion, on peut noter que l’on a
η k (g k ) = μ(g k )/μ(g k−1 )
pour tout 0 ≤ k < n. Par cons´ equent, nous avons la formule t´ elescopique
γ n (1) =
n−1
p=0
η p (g p ) =
n−1
p=0
μ(g p )
μ(g p−1 )
=
μ(G an )
μ(G a0 )
Les interpr´ etations particulaires de ces formules d´ ecrites dans la section 8.3
peuvent s’interpr´ eter comme des algorithmes de Metropolis-Hastings en interaction. Les ´ etapes de mutations correspondent ` a des propositions de transitions selon les noyaux de Markov M a k . L’´ etape de rejet est remplac´ ee par
une ´ etape de selection.
Dans l’exemple pr´ ec´ edent, les mauvaises propositions sont automatiquement remplac´ ees par des transitions ayant r´ eussi ` a passer le niveau sup´ erieur.
L’estimation des queues de probabilit´ es co¨ ıncide avec celle des constantes de
normalisation. L’approximation num´ erique s’effectue donc en multipliant les
proportions de r´ eussites de passage entre chaque niveau.
9.3.2 Formules de Feynman-Kac-Jarzynski
Les mod` eles pr´ ec´ edents peuvent s’´ etendre `
a des mesures de BoltzmannGibbs de la forme suivante
Les mesures de Boltzmann-Gibbs associ´ ees ` a une mesure de r´ ef´ erence
μ et ` a une fonction potentiel G ` a valeurs dans [0, 1] sont d´ efinies par
Ψ G (μ)(dx) =
1
μ(G)
G(x) μ(dx) avec μ(G) =
G(x) μ(dx) > 0
Pour ce faire, il suffit de s’assurer que les fonctions potentiel G peuvent se
factoriser en terme d’une s´ equence de fonctions g k de longueur quelconque
G = G n := g 0 × g 1 × . . . × g n−1
Examinons deux situations classiques rencontr´ ees en pratique.
9 M´ ethodes MCMC en interaction
η k (f ) =
γ k−1 (g k−1 M a k (f ))
γ k−1 (g k−1 )
=
η k−1 (g k−1 M a k (f ))
η k−1 (g k−1 )
= Ψ g k−1 (η k−1 )M a k (f )
Pour conclure cette discussion, on peut noter que l’on a
η k (g k ) = μ(g k )/μ(g k−1 )
pour tout 0 ≤ k < n. Par cons´ equent, nous avons la formule t´ elescopique
γ n (1) =
n−1
p=0
η p (g p ) =
n−1
p=0
μ(g p )
μ(g p−1 )
=
μ(G an )
μ(G a0 )
Les interpr´ etations particulaires de ces formules d´ ecrites dans la section 8.3
peuvent s’interpr´ eter comme des algorithmes de Metropolis-Hastings en interaction. Les ´ etapes de mutations correspondent ` a des propositions de transitions selon les noyaux de Markov M a k . L’´ etape de rejet est remplac´ ee par
une ´ etape de selection.
Dans l’exemple pr´ ec´ edent, les mauvaises propositions sont automatiquement remplac´ ees par des transitions ayant r´ eussi ` a passer le niveau sup´ erieur.
L’estimation des queues de probabilit´ es co¨ ıncide avec celle des constantes de
normalisation. L’approximation num´ erique s’effectue donc en multipliant les
proportions de r´ eussites de passage entre chaque niveau.
9.3.2 Formules de Feynman-Kac-Jarzynski
Les mod` eles pr´ ec´ edents peuvent s’´ etendre `
a des mesures de BoltzmannGibbs de la forme suivante
Les mesures de Boltzmann-Gibbs associ´ ees ` a une mesure de r´ ef´ erence
μ et ` a une fonction potentiel G ` a valeurs dans [0, 1] sont d´ efinies par
Ψ G (μ)(dx) =
1
μ(G)
G(x) μ(dx) avec μ(G) =
G(x) μ(dx) > 0
Pour ce faire, il suffit de s’assurer que les fonctions potentiel G peuvent se
factoriser en terme d’une s´ equence de fonctions g k de longueur quelconque
G = G n := g 0 × g 1 × . . . × g n−1
Examinons deux situations classiques rencontr´ ees en pratique.