9.3 Mesures de Boltzmann-Gibbs
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Fig. 9.1. Queues de distribution de la loi μ d’une variable X sur trois niveaux
a0 ≤ a1 ≤ a2.
η k (f ) = γ k (f )/γ k (1)
avec
γ k (f ) = E
f (X k )
k−1
p=0
g p (X p )
et les fonctions potentiel g p = G ap+1
Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, la s´ equence (X k ) k=0,...,n d´ esigne une chaˆ ıne
de Markov non homog` ene de loi initiale Loi(X 0 ) = μ, et de transitions de
probabilit´ es donn´ ees par
P(X k ∈ dy | X k−1 = x) = M a k (x, dy)
Pour v´ erifier que ces mesures sont bien la solution du syst` eme (9.5), on commence par noter que l’on a
γ k (f ) = E
E (f (X k ) | (X 0 , . . . , X k−1 ))
k−1
p=0
g p (X p )
= E
M a k (f )(X k−1 ) g k−1 (X k−1 ) ×
k−2
p=0
g p (X p )
= γ k−1 (g k−1 M a k (f ))
On obtient ainsi la formule r´ ecursive recherch´ ee