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9 M´ ethodes MCMC en interaction
M a (x, dy) = M (x, dy) G a (y) + (1 − M (G a )(x)) δ x (dy)
= M (x, dy) 1 [a,∞[ (y) + (1 − M (x, [a, ∞[)) δ x (dy)
Simuler une variable de loi M a (x, dy) partant d’un ´ etat x revient ` a proposer
tout d’abord une transition de loi M (x, dy). On accepte ensuite cette transition lorsque qu’elle tombe dans l’ensemble d´ esir´ e [a, ∞[. Dans le cas contraire,
on reste au point de d´ epart x. Lorsque le niveau a est trop ´ elev´ e, cet algorithme reste bloqu´ e pendant de nombreuses it´ erations, en attendant que par
chance l’on propose un point au-del` a de a.
Pour palier ` a ce probl` eme, une id´ ee naturelle consiste `
a introduire une suite
d’intervalles embo t´ es conduisant aux extrˆ emes d´ esir´ es. Ces derniers peuvent
par exemple ˆ etre choisis de la forme suivante
[a 0 , ∞[⊃ [a 1 , ∞[⊃ . . . ⊃ [a n−1 , ∞[⊃ [a n , ∞[ avec a n = a
Intuitivement, la strat´ egie consiste `
a choisir la suite croissante (a k ) k=0,...,n de
sorte que chaque intervalle [a k , ∞[ soit plus facile d’acc` es partant de [a k−1 , ∞[.
Pour pr´ eciser cette approche, il convient tout d’abord de remarquer que l’on
a les formules suivantes :
μ a k = μ a k M a k et Ψ Ga k (μ a k−1 ) = μ a k
Le second r´ esultat provient simplement du fait que l’on a la propri´ et´ e multiplicative
G a k−1 × G a k = G a k
⇔ 1 [a k−1 ,∞[ × 1 [a k ,∞[ = 1 [a k ,∞[
Interpr´ etations trajectorielles
D’apr` es les observations pr´ ec´ edentes, le flot de mesures de probabilit´ es
d´ efinies par
η k = μ a k ,
k= 0, . . . , n
satisfait l’´ equation r´ ecursive
η k = Ψ g k−1 (η k−1 )M a k avec g k−1 = G a k
(9.5)
Une illustration de ces s´ equences de distribution est donn´ ee dans la figure 9.1. Cet exemple correspond ` a la situation o` u la mesure de r´ eference μ
est la loi d’une variable X. Dans cette situation, nous avons
η k = μ a k = Loi(X | X ≥ a k )
La solution de l’´ equation (9.5) est ` a nouveau donn´ ee par la mesure de
Feynman-Kac d´ efinie pour toute fonction test born´ ee f par la formule suivante
ˆ ı
9 M´ ethodes MCMC en interaction
M a (x, dy) = M (x, dy) G a (y) + (1 − M (G a )(x)) δ x (dy)
= M (x, dy) 1 [a,∞[ (y) + (1 − M (x, [a, ∞[)) δ x (dy)
Simuler une variable de loi M a (x, dy) partant d’un ´ etat x revient ` a proposer
tout d’abord une transition de loi M (x, dy). On accepte ensuite cette transition lorsque qu’elle tombe dans l’ensemble d´ esir´ e [a, ∞[. Dans le cas contraire,
on reste au point de d´ epart x. Lorsque le niveau a est trop ´ elev´ e, cet algorithme reste bloqu´ e pendant de nombreuses it´ erations, en attendant que par
chance l’on propose un point au-del` a de a.
Pour palier ` a ce probl` eme, une id´ ee naturelle consiste `
a introduire une suite
d’intervalles embo t´ es conduisant aux extrˆ emes d´ esir´ es. Ces derniers peuvent
par exemple ˆ etre choisis de la forme suivante
[a 0 , ∞[⊃ [a 1 , ∞[⊃ . . . ⊃ [a n−1 , ∞[⊃ [a n , ∞[ avec a n = a
Intuitivement, la strat´ egie consiste `
a choisir la suite croissante (a k ) k=0,...,n de
sorte que chaque intervalle [a k , ∞[ soit plus facile d’acc` es partant de [a k−1 , ∞[.
Pour pr´ eciser cette approche, il convient tout d’abord de remarquer que l’on
a les formules suivantes :
μ a k = μ a k M a k et Ψ Ga k (μ a k−1 ) = μ a k
Le second r´ esultat provient simplement du fait que l’on a la propri´ et´ e multiplicative
G a k−1 × G a k = G a k
⇔ 1 [a k−1 ,∞[ × 1 [a k ,∞[ = 1 [a k ,∞[
Interpr´ etations trajectorielles
D’apr` es les observations pr´ ec´ edentes, le flot de mesures de probabilit´ es
d´ efinies par
η k = μ a k ,
k= 0, . . . , n
satisfait l’´ equation r´ ecursive
η k = Ψ g k−1 (η k−1 )M a k avec g k−1 = G a k
(9.5)
Une illustration de ces s´ equences de distribution est donn´ ee dans la figure 9.1. Cet exemple correspond ` a la situation o` u la mesure de r´ eference μ
est la loi d’une variable X. Dans cette situation, nous avons
η k = μ a k = Loi(X | X ≥ a k )
La solution de l’´ equation (9.5) est ` a nouveau donn´ ee par la mesure de
Feynman-Kac d´ efinie pour toute fonction test born´ ee f par la formule suivante
ˆ ı