9.3 Mesures de Boltzmann-Gibbs
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Dans le cas des mesures de Boltzmann-Gibbs associ´ ees ` a des potentiels
exponentiels, on pourra noter que l’interaction diminue lorsque les variations
des temp´ eratures inverses d´ ecroissent (β n − β n−1 ) ↓ 0.
9.3 Mesures de Boltzmann-Gibbs
Les m´ ethodes de simulation particulaires d´ ecrites dans les sections pr´ ec´ edentes sont aussi utiles pour simuler des mesures de Boltzmann-Gibbs de la
forme
Ψ G (μ)(dx) =
1
μ(G)
G(x) μ(dx) avec μ(G) =
G(x) μ(dx)
Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, μ d´ esigne une mesure de probabilit´ e sur un
espace d’´ etats E, et G une fonction potentiel born´ ee ` a valeurs dans [0, 1].
L’application Ψ G est une transformation dans l’espace des probabilit´ es. Elle
associe ` a une mesure de probabilit´ e μ, telle que μ(G) > 0, une nouvelle probabilit´ e d´ eduite de μ par une op´ eration de multiplication par la fonction G, suivie
d’une simple normalisation. Cette formulation abstraite permet de couvrir de
nombreuses situations.
9.3.1 Queues de distributions
Pour illustrer la m´ ethodologie particulaire sous-jacente, commen¸ cons par
l’exemple ´ el´ ementaire des queues de distributions. Lorsque E = R, le choix
des fonctions indicatrices
G = G a = 1 [a,∞[
de demi-droites [a, ∞[, conduit `
a la distribution conditionnelle d’une variable
al´ eatoire X de loi μ
μ a (dx) := Ψ Ga (μ)(dx)
:=
1
μ(G a )
G a (x) μ(dx)
=
1
μ([a, ∞[)
1 [a,∞[ (x) μ(dx) = P(X ∈ dx | X ≥ a)
Cette d´ efinition n’a de sens que si μ(G a ) > 0. La plupart des m´ ethodes de
simulation de Monte-carlo s’effondrent lorsque le param` etre a est trop ´ elev´ e.
Notons M a (x, dy) une transition markovienne de mesure invariante
Ψ Ga (μ)(dx) =
1
μ([a, ∞[)
1 [a,∞[ (x) μ(dx)
Lorsque la mesure de r´ ef´ erence μ est r´ eversible par rapport ` a une transition
M (x, dy), on peut choisir la transition de Metropolis-Hastings