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9 M´ ethodes MCMC en interaction
η n = Loi(X n )
On rappelle que la solution de ces ´ equations d’´ evolution (9.4) est donn´ ee
par les mesures de Feynman-Kac (9.9). Pour plus de d´ etails sur ces mod` eles
nous renvoyons le lecteur `
a la section 3. Les interpr´ etations particulaires des
formules (9.4) et (9.9) sont identiques aux mod` eles d´ ecrits dans la section 8.3
et la section 3.6.3.
Comme nous l’avons vu pr´ ec´ edemment, on commence par simuler N variables al´ eatoires ind´ ependantes ξ 0 = (ξ
i
0 ) 1≤i≤N distribu´ ees sur E selon la
loi η 0 . Ensuite, les transitions al´ eatoires des N individus s’effectuent en deux
temps :
ξ n = (ξ
i
n ) 1≤i≤N
s´ election
− − − − − −→
ξ n = (
ξ
i
n ) 1≤i≤N
mutation
− − − − − −→ ξ n+1 = (ξ
i
n+1 ) 1≤i≤N
Il existe plusieurs variantes pour s´ electionner les individus les mieux adapt´ es
au potentiel G n . La plus simple et la plus naturelle est synth´ etis´ ee par le
sch´ ema suivant :
´
Etape de s´ election :
Pour chaque i = 1, . . . , N, on pose
ξ
i
n =
ξ
i
n avec probabilit´ e g n (ξ
i
n )
ζ
i
n avec probabilit´ e 1 − g n (ξ
i
n )
o` u ζ
i
n d´ esigne une v.a. de loi
N
j=1
g n (ξ
j
n )
N
k=1 g n (ξ k
n )
δ ξ
j
n
´
Etape de mutation-exploration :
Pendant l’´ etape de mutation, les individus s´ electionn´ es
ξ
i
n explorent l’espace
ind´ ependamment les uns des autres, selon les transitions de probabilit´ es
´ el´ ementaires M n d´ ecrites en (9.3). La dur´ ee de ces explorations est libre et
d´ epend du temps de calcul consacr´ e `
a cette phase d’exploration.
Les algorithmes de simulation que nous venons de d´ ecrire peuvent s’interpr´ eter comme des ´ evolutions de chaˆ ınes de Metropolis-Hastings, de recuits
simul´ es ou encore des ´ echantillonneurs de Gibbs en interaction.
9 M´ ethodes MCMC en interaction
η n = Loi(X n )
On rappelle que la solution de ces ´ equations d’´ evolution (9.4) est donn´ ee
par les mesures de Feynman-Kac (9.9). Pour plus de d´ etails sur ces mod` eles
nous renvoyons le lecteur `
a la section 3. Les interpr´ etations particulaires des
formules (9.4) et (9.9) sont identiques aux mod` eles d´ ecrits dans la section 8.3
et la section 3.6.3.
Comme nous l’avons vu pr´ ec´ edemment, on commence par simuler N variables al´ eatoires ind´ ependantes ξ 0 = (ξ
i
0 ) 1≤i≤N distribu´ ees sur E selon la
loi η 0 . Ensuite, les transitions al´ eatoires des N individus s’effectuent en deux
temps :
ξ n = (ξ
i
n ) 1≤i≤N
s´ election
− − − − − −→
ξ n = (
ξ
i
n ) 1≤i≤N
mutation
− − − − − −→ ξ n+1 = (ξ
i
n+1 ) 1≤i≤N
Il existe plusieurs variantes pour s´ electionner les individus les mieux adapt´ es
au potentiel G n . La plus simple et la plus naturelle est synth´ etis´ ee par le
sch´ ema suivant :
´
Etape de s´ election :
Pour chaque i = 1, . . . , N, on pose
ξ
i
n =
ξ
i
n avec probabilit´ e g n (ξ
i
n )
ζ
i
n avec probabilit´ e 1 − g n (ξ
i
n )
o` u ζ
i
n d´ esigne une v.a. de loi
N
j=1
g n (ξ
j
n )
N
k=1 g n (ξ k
n )
δ ξ
j
n
´
Etape de mutation-exploration :
Pendant l’´ etape de mutation, les individus s´ electionn´ es
ξ
i
n explorent l’espace
ind´ ependamment les uns des autres, selon les transitions de probabilit´ es
´ el´ ementaires M n d´ ecrites en (9.3). La dur´ ee de ces explorations est libre et
d´ epend du temps de calcul consacr´ e `
a cette phase d’exploration.
Les algorithmes de simulation que nous venons de d´ ecrire peuvent s’interpr´ eter comme des ´ evolutions de chaˆ ınes de Metropolis-Hastings, de recuits
simul´ es ou encore des ´ echantillonneurs de Gibbs en interaction.