9.2 Algorithmes en interaction
269
La donn´ ee d’une transition markovienne M n ayant un point fixe donn´ e
conduit aux ´ equations d’´ evolution de mesures de Feynman-Kac :
η n = η n M n =⇒ η n = Ψ gn−1 (η n−1 )M n
(9.3)
Il est important de souligner que l’on a
∀k ≥ 1
η n = Ψ gn−1 (η n−1 )M
k
n
Autrement dit, on peut remplacer dans toute la discussion les transitions
markoviennes M n par leur k-compositions. D’un point de vue algorithmique,
cette remarque permet de mettre en place des phases d’exploration plus ou
moins longues dans la simulation particulaire de ces mesures. Cette strat´ egie
permet d’augmenter la capacit´ e exploratoire des phases de mutation des
algorithmes de simulation.
9.2.2 Interpr´ etations particulaires
Dans la section 3.6.2, nous avons d´ emontr´ e que ces ´ equations d’´ evolution
peuvent s’´ ecrire comme un transport de mesures
η n+1 = η n K n+1,ηn
(9.4)
avec
K n+1,ηn (x, dz) :=
S n,ηn (x, dy) M n+1 (y, dz)
et les transitions markoviennes S n,ηn (x, dy) sur E d´ efinies par les formules
suivantes
S n,ηn (x, dy) = n (η n ) g n (x) δ x (dy) + (1 − n (η n ) g n (x n )) Ψ n (η n )(dy)
Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, les param` etres n (η n ) ≥ 0 sont choisis tels que
n (η n )g n (x) ≤ 1, pour tous les x ∈ E.
Ces interpr´ etations probabilistes permettent de d´ efinir un algorithme stochastique “id´ eal” (X n ) n≥0 de loi initiale η 0 = Loi(X 0 ) sur E et de transitions de probabilit´ es ´ el´ ementaires sur E d´ ecrites par :
P
X n ∈ dy | X n−1 = x
= K n,ηn−1 (x, dy) avec η n−1 = Loi(X n−1 )
Par construction, ` a la diff´ erence de tous les algorithmes de Monte Carlo par
chaˆ ınes de Markov, nous avons
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La donn´ ee d’une transition markovienne M n ayant un point fixe donn´ e
conduit aux ´ equations d’´ evolution de mesures de Feynman-Kac :
η n = η n M n =⇒ η n = Ψ gn−1 (η n−1 )M n
(9.3)
Il est important de souligner que l’on a
∀k ≥ 1
η n = Ψ gn−1 (η n−1 )M
k
n
Autrement dit, on peut remplacer dans toute la discussion les transitions
markoviennes M n par leur k-compositions. D’un point de vue algorithmique,
cette remarque permet de mettre en place des phases d’exploration plus ou
moins longues dans la simulation particulaire de ces mesures. Cette strat´ egie
permet d’augmenter la capacit´ e exploratoire des phases de mutation des
algorithmes de simulation.
9.2.2 Interpr´ etations particulaires
Dans la section 3.6.2, nous avons d´ emontr´ e que ces ´ equations d’´ evolution
peuvent s’´ ecrire comme un transport de mesures
η n+1 = η n K n+1,ηn
(9.4)
avec
K n+1,ηn (x, dz) :=
S n,ηn (x, dy) M n+1 (y, dz)
et les transitions markoviennes S n,ηn (x, dy) sur E d´ efinies par les formules
suivantes
S n,ηn (x, dy) = n (η n ) g n (x) δ x (dy) + (1 − n (η n ) g n (x n )) Ψ n (η n )(dy)
Dans la d´ efinition pr´ ec´ edente, les param` etres n (η n ) ≥ 0 sont choisis tels que
n (η n )g n (x) ≤ 1, pour tous les x ∈ E.
Ces interpr´ etations probabilistes permettent de d´ efinir un algorithme stochastique “id´ eal” (X n ) n≥0 de loi initiale η 0 = Loi(X 0 ) sur E et de transitions de probabilit´ es ´ el´ ementaires sur E d´ ecrites par :
P
X n ∈ dy | X n−1 = x
= K n,ηn−1 (x, dy) avec η n−1 = Loi(X n−1 )
Par construction, ` a la diff´ erence de tous les algorithmes de Monte Carlo par
chaˆ ınes de Markov, nous avons