268
9 M´ ethodes MCMC en interaction
Dans toutes les situations examin´ ees dans les sections pr´ ec´ edentes, on remarquera qu’il est n´ ecessaire de changer la transition et donc l’algorithme
de simulation d` es que l’on change de mesure invariante !
Une autre strategie de type recuit simul´ e et assez coˆ uteuse en temps de calcul
consisterait `
a laisser la chaˆ ıne ´ evoluer pendant de tr` es longues it´ erations
avec une transition homog` ene, disons M n . Apr` es ces longues p´ eriodes, les
´ etats ont presque “oubli´ e leurs conditions initiales”. Ils sont alors ` a peu de
choses pr` es distribu´ es selon la mesure invariante η n . On change ensuite de
transition en laissant ´ evoluer la chaˆ ıne avec la transition M n+1 . Apr` es ces
longues p´ eriodes, les ´ etats ont presque “oubli´ e leurs conditions initiales” et
ils sont `
a peu pr
´
es distribu´ es selon la mesure invariante η n+1 , etc.
Supposons que les fonctions potentiel des mesures cibles
η n (dx) =
1
μ(G n )
G n (x) μ(dx)
v´ erifient la propri´ et´ e multiplicative suivante
G n = G n−1 × g n−1
pour une certaine fonction potentiel g n−1 , avec G 0 (x) = 1. Dans ces conditions, les variations de masses de probabilit´ es entre η n−1 et η n sont simplement donn´ ees par la transformation de Boltzmann-Gibbs Ψ gn−1 associ´ ee au
potentiel g n−1 :
η n = Ψ gn−1 (η n−1 )
Dans cette situation, les mesures cibles η n sont clairement donn´ ees par la
formule produit suivante :
η n (dx) =
1
Z n
⎧
⎨
⎩
0≤p
⎫
⎬
⎭
μ(dx)
avec la constante de normalisation
Z n :=
⎧
⎨
⎩
0≤p
⎫
⎬
⎭
μ(dx)
Deux illustrations de ces formules abstraites sont d´ ecrites dans la section 9.3.
´
9 M´ ethodes MCMC en interaction
Dans toutes les situations examin´ ees dans les sections pr´ ec´ edentes, on remarquera qu’il est n´ ecessaire de changer la transition et donc l’algorithme
de simulation d` es que l’on change de mesure invariante !
Une autre strategie de type recuit simul´ e et assez coˆ uteuse en temps de calcul
consisterait `
a laisser la chaˆ ıne ´ evoluer pendant de tr` es longues it´ erations
avec une transition homog` ene, disons M n . Apr` es ces longues p´ eriodes, les
´ etats ont presque “oubli´ e leurs conditions initiales”. Ils sont alors ` a peu de
choses pr` es distribu´ es selon la mesure invariante η n . On change ensuite de
transition en laissant ´ evoluer la chaˆ ıne avec la transition M n+1 . Apr` es ces
longues p´ eriodes, les ´ etats ont presque “oubli´ e leurs conditions initiales” et
ils sont `
a peu pr
´
es distribu´ es selon la mesure invariante η n+1 , etc.
Supposons que les fonctions potentiel des mesures cibles
η n (dx) =
1
μ(G n )
G n (x) μ(dx)
v´ erifient la propri´ et´ e multiplicative suivante
G n = G n−1 × g n−1
pour une certaine fonction potentiel g n−1 , avec G 0 (x) = 1. Dans ces conditions, les variations de masses de probabilit´ es entre η n−1 et η n sont simplement donn´ ees par la transformation de Boltzmann-Gibbs Ψ gn−1 associ´ ee au
potentiel g n−1 :
η n = Ψ gn−1 (η n−1 )
Dans cette situation, les mesures cibles η n sont clairement donn´ ees par la
formule produit suivante :
η n (dx) =
1
Z n
⎧
⎨
⎩
0≤p
⎫
⎬
⎭
μ(dx)
avec la constante de normalisation
Z n :=
⎧
⎨
⎩
0≤p
⎫
⎬
⎭
μ(dx)
Deux illustrations de ces formules abstraites sont d´ ecrites dans la section 9.3.
´