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9 M´ ethodes MCMC en interaction
(η n × Q) 0 (d(x, y)) = η n (dx) Q(x, dy)
(η n × Q) 1 (d(x, y)) = η n (dy) Q(y, dx).
sont absolument continues. Dans ce cas, on posera
h n (x, y) = 1 ∧
d(η n × Q) 1
d(η n × Q) 0
(x, y).
et l’acceptation ou le rejet de l’´ etat Y
(n)
k
s’effectue comme suit
⎧
⎨
⎩
X
(n)
k+1 = Y
(n)
k
avec probabilit´ e h n
X
(n)
k , Y
(n)
k
X
(n)
k+1 = X
(n)
k
avec probabilit´ e 1 − h n
X
(n)
k , Y
(n)
k
9.1.4 Les transitions de Gibbs
D’autres exemples de transitions dans le cadre d’espaces produits sont
d´ ecrits dans la section 6.5 d´ edi´ ee ` a l’´ echantillonneur de Gibbs. Ces algorithmes
de simulation sont fond´ es sur les propri´ et´ es de d´ esint´ egration des mesures
cibles `
a simuler. Plus pr´ ecis´ ement, supposons qu’une mesure cible η n sur un
espace produit E := S
d se d´ ecompose sur chaque axe selon les formules de
d´ esint´ egration suivantes :
η n (d(u 1 , . . . , u d ))
= η n,p (d(u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d )) × η
p
n ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p )
avec pour chaque indice 1 ≤ p ≤ d :
– η p,n d´ esigne une mesure de probabilit´ e image de μ sur l’espace produit
S
d−1 , d´ eduit de S
d en enlevant le p-i` eme axe.
– pour η p -presque tous les (u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ) ∈ S
(d−1) ,
η
p
n ((u 1 , . . . , u p−1 , u p+1 , . . . , u d ), du p )
d´ esigne une mesure de probabilit´ e sur le p-i` eme axe S.
Dans ce contexte une simple transition ´ el´ ementaire de l’´ echantillonneur de
Gibbs
X
(n)
k
X
(n)
k+1
se d´ ecompose en d ´ etapes interm´ ediaires :
X
(n)
k,0 = X
(n)
k
X
(n)
k,1 X
(n)
k,2 . . . X
(n)
k,3 . . . X
(n)
k,d = X
(n)
k+1
Pour chaque indice 1 ≤ p ≤ d, nous noterons les d-coordonn´ ees de X
(n)
k,p par
le vecteur colonne suivant :