9.1 M´ ethodes et mod` eles MCMC
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9.1.3 Les transitions de Metropolis-Hastings
La section 6.3 est aussi consacr´ ee ` a la construction de transitions de
Metropolis-Hastings de type acceptation-rejet. Ces transitions al´ eatoires
X
(n)
k
X
(n)
k+1
se d´ ecomposent en deux ´ etapes :
Dans un premier temps, on propose al´ eatoirement des points selon une
distribution al´ eatoire auxiliaire Q
X
(n)
k , dy
sur E. Dans un second temps,
ces points sont accept´ es ou refus´ es en fonction d’un taux bien choisi. A titre
d’exemple, les transitions de recuit simul´ e X
(n)
k
X
(n)
k+1 ` a temp´ erature fix´ ee
T k = 1/β n , pour chaque instant k ≥ 0, d´ ecrites dans la section 6.4.4 sont des
transitions de Markov
M n (x, dy) = P
X
(n)
k+1 ∈ dy | X
(n)
k
= x
= Q(x, dy)
1 ∧ e
−βn(V (y)−V (x))
+
+
𚵿
1 −
Q(x, dz)
1 ∧ e
−βn(V (z)−V (x))
+
δ x (dy)
de mesures invariantes de la forme
η n (dx) :=
1
μ(G n )
G n (x) μ(dx) avec G n (x) = e
−βnV (x)
o` u V : E → [0, ∞[ d´ esigne une fonction d’´ energie, μ une mesure Q-r´ eversible.
Dans ce contexte, la simulation d’une transition al´ eatoire
X
(n)
k
X
(n)
k+1
selon M n s’effectue en deux temps :
X
(n)
k
(X
(n)
k , Y
(n)
k ) X
(n)
k+1
On propose tout d’abord un nouvel ´ etat Y
(n)
k
distribu´ e selon la loi Q
X
(n)
k , dy
.
⎧
⎨
⎩
X
(n)
k+1 = Y
(n)
k
avec probabilit´ e
1 ∧ e
−βn(V (Y
(n)
k
)−V (X
(n)
k ))
+
X
(n)
k+1 = X
(n)
k
avec probabilit´ e 1 −
1 ∧ e
−βn(V (Y
(n)
k
)−V (X
(n)
k ))
+
Plus g´ en´ eralement, supposons que les mesures suivantes